Die gleicheckig-gleichflächigen, diskontinuierlichen und nichtkonvexen Polyeder. 311 



Gleichung- 2J. = 12.4 + 12.4: — 60, da liberstumpfe Kantenwinkel nicht vor- 

 handen sind. Merkwürdig- ist der Aufbau des Gesamtpolyeders. Es be- 

 steht nur aus zwei einfach zusammenhängenden Oberflächen, nämlich der 

 äusseren Oberfläche des Polyeders, die sich aus 20.3 gleichschenkligen 

 Dreiecken zusammensetzt (den äusseren Zellen der zehneckigen Grenz- 

 flächen) und aussen positiv ist, sowie der Oberfläche des inneren Dode- 

 kaeders, die aussen negativ ist. Dieses innere Dodekaeder hat nur die 

 Eckpunkte mit Punkten der äusseren Oberfläche gemein, in denen je drei 

 der obengenannten Dreiecke aneinander stossen. Es besitzt dann der ge- 

 samte Innenraum zwischen den beiden Oberflächen den Koeffizienten l, 

 während die innerste Zelle, das Dodekaeder, den Koeffizienten Null hat. 

 Vertauscht man die Färbung, so ist die ganze äussere Oberfläche des 

 Polyeders negativ (— i), das Dodekaeder aussen positiv (-M). Der 

 zwischen beiden befindliche Raum hat den Koeffizienten — l, während das 

 Innere des Dodekaeders wieder Null ist. Die Art des Polyeders ist in 

 diesem Falle .4' = 42; denn es ist 2.4' = 12 .6 -|- 12.16 — 12. 10 — 60, weil die 

 Fläche nun bei entgegengesetzter Schraffierung zehn überstumpfe Kanten- 

 winkel besitzt. Es ist also A-[-A' = K. Das Polyeder ist autopolar. 



b) Das 20(6)2-eckige 20(6>2-Flach der 10. Art.^) Die Fläche 

 dieses nichtkonvexen Polyeders erster Klasse ist das Sechseck zweiter 

 Art Ca (7,08(70 Co C|o in der vollständigen Figur des Ikosaeders (Fig. 6 Taf. 8). 

 Die innerste Zelle, eine Fläche des ikosaedrischen Kernes, hat den 

 Koeffizienten — l, die drei äusseren den Koeffizienten -t-i. Die Ecken des 

 Polyeders sind sechskantig zweiter Art, mit drei ausspringenden und drei 

 einspringenden Flächenwinkeln. Jeder der drei Doppelpunkte einer Grenz- 

 fläche (in Fig. 6 Taf. 8 die Punkte (?i, G2, G^) gehört nebst dem Ikosaeder 

 als Ecke zugleich fünf Grenzflächen an, die in den Ebenen der fünf Flächen 

 der Ikosaederecke liegen. Das Gesamtpolyeder besitzt wiederum nur zwei 

 Zellen. Die äussere Oberfläche des Polyeders, aus 12.5 Dreiecken der 

 Art C-^C:Gi bestehend, ist positiv; die Oberfläche der inneren Zelle, des 

 Ikosaeders, aussen negativ. Diese beiden einfach zusammenhängenden 

 geschlossenen Flächen haben die zwölf Ecken G des Ikosaeders als Einzel- 



1) In anderer Auffassung oft als „Keilikosaeder" beschrieben. Vergl. die Abbildung 

 des Modelles V. u. V. Taf. VIII Fig. 26. 



