312 Max Brückner, 



punkte gemein, und der zwischen ihnen liegende Eaum hat den Koeffizienten 

 + 1 , während das Innere des Ikosaeders den Koeffizienten Null hat. Für 

 dieses autopolare Polyeder ist 2J. = 20.2 + 20.2 — 60, J. == 10, also Ä' = 50. 



c) Das I2.5(6)u-eckige 60(6)3-Flach der 120. Art. Die Fläche 

 dieses kontinuierlichen uichtkonvexen Polyeders erster Klasse ist in der 

 vollständigen Figur der besonderen Varietät eines Pentakisdodekaeders ent- 

 halten, für welche neben = 1, r = ^J'-^ ist, eine Varietät, die wir schon 



bei den quadratischen Sphenoiden anzuführen Gelegenheit hatten. Vergl. 

 Fi«;. 1 Taf. 13. Die Grenzfläche des Polyeders ist das nichtkonvexe kon- 

 timiierliche Sechseck dritter Art ABCBEF mit zwei überstumpfen Winkeln 

 in E und F (vergl. auch Fig. 1" Taf. 13). Von den Flächenzellen hat die 

 eine fünfkantige den Koeffizienten +2, die angrenzenden fünf dreikantigen 

 Zellen haben die Koeffizienten +1, während die Zelle mit der Kante EF 

 den Koeffizienten — 1 besitzt. Von den sechs Kanten der Fläche kehrt nur 

 die Kante EF dem Mittelpunkt ihre Aussenseite zu. Das autopolare 

 Polyeder, das von 60 solchen Flächen begrenzt wird, ist auf Taf. 28 in 

 Fig. 3 dargestellt. Das äussere Hüllpolyeder ist also diejenige Varietät 



eines (l2+20)-flächigen 12.5-Ecks, für welche s = 1, t= ^^~ ist, denn 



die Hülle ist reziprok dem inneren Kern. Jede der 60 kongruenten sechs- 

 kantigen Ecken des Polyeders — einen Querschnitt zeigt Fig. 1" Taf. 13 — 

 besitzt zwei überstumpfe Kantenwinkel, ßy = E,y6 = F, und vier über- 

 stumpfe Flächenwinkel ß, y, 6, ^. Dabei ist die Bildung der Ecke durch 

 die Zellen der Fläche die folgende: aß ^ B'+D", ßs = E, yö = F, 6s ^ A"+A\ 

 eC, = B, ^a = C. Die Art der Ecke ist « = 6. Es gilt also für die Art Ä 

 des Polyeders, da ^x = 60.2, ^=60.3 ist, die Gleichung: 



2Ä = 60.3-1-60.6 — 60.2 — 60.3, 



d. h. es ist A = 120. Für das Verhältnis der Kanten des Hüllpolyeders 



fand man: k, : A-a = 1 : ^^ ^~^ • Die beiden Grenzfläclien des Polyeders, deren 



Kante EF mit der Kante 172 des Hüllpolyeders zusammenfällt, sind aus- 

 gedrückt durch die Eckenzahlen des Hüllpolyeders: 1), 2), 41), 32), 31), 42) 

 und 1), 2), 40), 30), 29), 39), (vergl. Fig. 1° Taf. 13 1, womit die Lage einer 



