Die gleicheckig-gleichflächigen, diskontinuierlichen und nichtkonvexen Polj'eder. 313 



solchen Grenztiäche im Hüllpolyeder sofort zu übersehen ist. Die Längen 

 der Kanten der Fläche sind leicht zu berechnen, wenn die Eckkoordinaten 

 des Hüllpolyeders bestimmt sind. Es ist übrigens mit Berücksichtigung der 

 Figur der Grenzfläche: AB = CD, AF=DE, EF=hi und im Hüllpolyeder 



^5 = 30,40; AF=\,Z^; J5C=29,30; EF ^ 1,2. 



d) Das l20(3)3-eckige 30(12)7-Flach der 75. Art. Die Fläche 

 dieses nichtkonvexen Polyeders erster Klasse ist das Zwölfeck PjPjPj ..P11P12 

 in der vollständigen Figur des Triakontaeders (Fig. 5 Taf. 14). Die innerste 

 Zelle dieses Zwijlfecks hat, wenn man die Fläche unabhängig vom Polyeder 

 betrachtet, den Koeffizienten +3, die daran grenzenden Zellen nach aussen 

 zu fallend +2 und +1, während die äussersten vier dreieckigen Zellen die 

 Koeffizienten — 1 besitzen. Das Zwölfeck hat acht überstumpfe Winkel 

 und ist von der Art a = 7 (siehe später). Das von 30 solchen Flächen be- 

 grenzte Polyeder zeigt Fig. 11 Taf. 26. Die äussere Hülle ist ein (12 + 20 + 30)- 

 flächiges 2.60 Eck und zwar sind die Ecken PiP2Pi..PnPvi der in der 

 Ebene l) des Triakontaeders liegenden ersten Fläche die folgenden Ecken 

 des 2.60-Ecks: P, ee 15, P2 = 67, P3 = 59, P4 = 52, P5 ^ 64, Po = 16, P7 = 76, 

 Pg = 24, Pg = 33, Pio ~ 38, Pii HE 27, P^ = 75, SO dass die Fläche l) im 2.60- 

 Eck nach den Ecken lautet: 15, 67, 59, 52, 64, 16, 76, 24, 33, 38, 27, 75. Die Ecke 

 P9 = 33 ist nun der Schnitt der Flächen l), 15), 27) des Triakontaeders, deren 

 Gleichungen 



'&"■ 



(1) CiZ—d^O, (15) c,«/— d = 0, (27) ttiX+h-iy—CiS—d^O 



sind, wobei c, = tan 9), a-, = -^^, h, = " ^^ , c, = - ist. Man findet für die Ko- 



ordinaten des Schnittpunktes ^ = — , y= , x=- ^ - d. Da für die 



Ecke 33) X = z-i, y = x-i, z = y-i ist, so ergibt sich : x-, = yi = dcoty, zi = Zd cot^p, 

 und damit folgt für die Parameter s und t des Hüllpolyeders nach den 



Formeln 83): 



_ 2cot2( 3P _ Sj/ö+T . 

 ^~ 4cot^ — 1 ~" 19 



l + Scot^p , 3i/5+8 



4coty — 1 ^ 19 



Für die Kanten dieses schon früher aufgetretenen Hüllpolyeders ergab 



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