Die gleicheckig-gleichflächigen, diskontinuierlichen und nichtkonvexen Polyeder. 315 



allsgezeichnete 2. 60 -Flach. Um nun die Grenzfläche des neuen Polyeders 

 in der Ebene l) dieses Dyakishexekontaeders zu finden, beachten wir die 

 Kanten der Ecke i) des vorigen Polyeders. Diese Kanten gehen nach den 

 Elcken 20), 115), 98) des 2.60- Ecks. Also ist die Fläche des neuen Polyeders 

 in der vollständigen Figur Taf. 19 des Dyakishexekontaeders die von den 

 Spuren der Ebenen 20), 115), 98) gebildete, d. h. das Dreieck i?,o5i|5,2. In 

 der Tat schneiden sich in der vollständig ausgeführten Zeichnung in jedem 

 dieser drei Punkte B zwölf Ebenen. In Fig. 2 Taf. 15 ist die Grenzfläche 

 des Polyeders für sich gezeichnet. Bezeichnet man die Ecken des Tria- 

 kontagons entsprechend den Flächen des Triakontaeders , so sendet die 

 Ecke 1) des Polyeders [der Fläche i) des vorigen polar] die zwölf Kanten 

 nach folgenden Ecken: «) nach 12), 13), 10), 11); diese Kanten sind die 

 kürzesten Kanten J?ioi?ii der Grenzflächen, ß) nach 16), 14), 15), 17); d. h. 

 die Kanten B^^B^^ der Flächen. Nur diese acht Kanten sind am Modell 

 des Polyeders nicht von den Flächen der Ecke verdeckt. /) nach 26), 27), 

 28), 29); d. i. die längsten Kanten B^^^B^-, der Grenzflächen (Fig. 7 Taf. 9 

 veranschaulicht den Querschnitt einer Ecke). Ist /; die Kante des Tria- 

 kontaeders, so sind übrigens die Längen dieser drei Arten Kanten in der 



h 



genannten Reihenfolge: A:' = -y'2 (5-1- 1/5)== i-. i,9i52;Ä;" = -(i + i/5)^^2 = Ä. 2,2879; 



Ä;'" = Ä 1/5 + 21/5 ^Z';- 3,0777. Die Aufeinanderfolge der Kanten einer Ecke 

 ist dabei, wenn wir mit 17T2 beginnen, die nach den Ecken (vergl. die Fig.): 

 12), 29), 17), 26), 11), 16), 10), 27), 15), 28), 13), 14). Ihre Art ist « = 7. Da die 

 Art der Grenzfläche a=i ist, und keine über.stumpfen Kantenwinkel vor- 

 kommen, so ergibt sich für die Art A des Polyeders die Gleichung 

 2^ = 120.1-1-30.7 — 180=150, d.h. J. = 75. Hierüber ist 2^' = 120. 2 -f- 30. 17 

 — 120.3 — 180 = 210, d.h. ^' = 7i — ^=105. 



Mit diesen fünf Polyedern scheint die Zahl der kontinuierlichen nicht- 

 konvexen Polyeder erster Klasse im Dyakishexekontaedertypus erschöpft zu 

 sein. Die geringe Anzahl dieser Gebilde kann befremden, zumal eine grosse 

 Zahl von Polyedern existiert, die entweder nur gleicheckig, oder nur 

 gleichflächig sind. Doch ist zunächst zu berücksichtigen, dass noch eine 

 Anzahl von Polyedern zweiter Klasse den nichtkonvexen zugleich gleich- 

 eckigen und gleichflächigen zuzurechnen sind, wozu noch die Möbiusschen 



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