Die gleicheckig-gleichflächigen, dislsontinuierlichen und nichtkonvexen Polj-eder. 31 / 



Die je fünf Triakisoktaeder bezw. Tetrakishexaeder, deren insg-esamt 120 

 Flächen in die Ebenen der Flächen gewisser Varietäten des Dyakishexe- 

 kontaeders fallen, werden sich dann sofort mit ergeben. 



Für welche Varietät des 2. 60 -Ecks sind die 5.24 Ecken die von 

 fünf 8. 3 -Ecken archimedeischer Varietät? Orientieren wir das 2. 60 -Eck 

 wieder so im Räume, dass die J5i-achse mit der positiven ^•-achse, die Achse 

 5,3 mit der positiven a;-achse zusammenfällt, so sind die je drei Koordinaten- 

 achsen der fünf Koordinatensysteme B die drei vierzähligen Achsen des 

 Hexakisoktaedertypus, je vier Achsen CC" die dreizähligen Achsen desselben 

 Typus. Dann sind die im folgenden aufgezählten Pocken bei bestimmter 

 Wahl des 2. 60 -Ecks die 8.3 Ecken eines ersten 8. 3 -Ecks, dessen vier- 

 zählige Achsen die Achsen B,, 5,3, 5,5 des 2.60 -Ecks sind. Die der 

 a;?/- ebene parallelen achteckigen Grenzflächen des 8. 3 -Ecks im 2. 60 -Eck 

 sind: 41), 32), 1.3), 4), 7), 18), 39), 50) und 103), 114), 117), 108), 89), 80), 71), 82); 

 die der a;^- ebene parallelen Flächen: 7), 4), 24), 54), 71), 80), 57), 27) und 

 64), 41), 50), 67), 97), 117), 114), 94); endlich die der y^-ebene beiden parallelen 



Flächen: 103), 82), 54), 24), 13), 32), 64), 94) und 108), 97), 67), 39), 18), 27), 57), 89). 

 Danach sind die Ecken der übrigen vier 8. 3 -Ecke im 2. 60 -Eck in Bezug 

 auf die weiteren Achsen B sofort angebbar. Sollen nun die genannten 

 Ecken die der A. V. des 8.3-Ecks sein, so sind dazu die folgenden Be- 

 dingungen zu erfüllen. Erstens müssen je acht der eben angeführten Ecken 

 in einer Ebene liegen. Dazu genügt offenbar', dass die ^-koordinate der 

 Ecke 13) gleich der ^-koordinate von 4) ist, d.h. z-^ = x-^. Soll dies dann 

 mögliche 8. 3 -Eck die A. V. sein, so mu.«s überdies das Achteck 41), 32), 13), 

 4), 7), 18), 39), 50) regulär sein, d. h. die y-koordinate von 4) verhält sich zur 

 y-koordinate von 13) wie die zweite Diagonale eines regulären Achtecks zu 

 seiner Kante. Dies gibt die Bedingung s^-.y.^ ^=: {\/2 -|- 1) : 1. Führt man die 



Werte ~ = l und ^=1/2 — 1 in die Formeln 89) ein, so ergibt sich: 



199) 



2(l/'2-|-l) 2(l/2-t-l) 



1/2 -1-1 5(1/2-1-1) 



