322 Max Brückner, 



sind die sechs im folgenden beschriebenen einseitig, d. h. sogenannte Möbiussche 

 Polyeder. Je zwei sind einander polarreziprok zugeordnet. Das allgemeinste 

 Kriterium für ein einseitiges Polyeder ist bekanntlich die Unerf tili bar keit 

 des nach Möbius benannten Kantengesetzes, wonach für ein wirkliches 

 (zweiseitiges) Polyeder mit einer unterscheidbaren Aussenseite und Innen- 

 seite der geschlossenen Oberfläche die begrenzenden Einzelflät-hen nach 

 Bezeichnung sämtlicher Ecken des Polyeders und damit der Ecken der 

 Einzelflächen sich so schreiben lassen, dass jede Kante zweimal in ent- 

 gegengesetztem Sinne durchlaufen auftritt.') Für die hier zu beschreibenden 

 einseitigen Polyeder genügt schon ein einfacher zu verfolgendes Kriterium 

 in der Mehrzahl der Fälle, um sie als einseitig zu erkennen, da sämtliche 

 Flächen kongruent bezw. symmetrisch -gleich sind. Denn es kommt das 

 Möbiussche Kantengesetz im Grunde darauf hinaus, dass bei einem zwei- 

 seitigen Polyeder die äussere und innere Seite der Oberfläche nicht in ein- 

 ander übergehen können, d. h. dass an eine aussen positive Zelle einer 

 Fläche stets nur eine ebensolche grenzt, an eine aussen negative Flächen- 

 zelle wieder eine negative, während es unstatthaft ist, dass man bei Über- 

 schreitung einer Kante auf der Aussenseite der Oberfläche aus einer positiven 

 Zelle einer ersten Fläche in eine sicher negativ anzusetzende einer Nachbar- 

 fläche gelangt.-) Nun sind bei den hier zu besprechenden Polyedern nach 

 einmaliger Festsetzung des Sinnes (bezw. der Färbung) einer Fläche 

 sämtliche Flächen ihrem Sinne nacli bestimmt und gestatten keine Um- 

 kehrung ihres Perimeters, da sonst dieselben Zellen der in jeder Hinsicht kon- 

 gruenten Flächen aussen verschiedene Vorzeichen erhielten. Das dualistisch 

 zugeordnete Kriterium gilt natürlich für die Ecken der Polyeder. 



Wir beschreiben nun zunächst die drei einseitigen Polyeder, deren 

 Flächen in der vollständigen Figur des Triakontaeders enthalten sind, 

 unter a), ß) und y). 



a) Die innere sechskantige Zelle des Achtecks 3fiM,MiMiM-^3I^3J[-,Mg 

 in der vollständigen Figur des Triakontaeders (Fig. 3 Taf. 14) besitze den 



1) Vergl. V. n. V. S. 68 nnd für die Ecken ebenda S. 75. 



') Denn das zöge nach sich, dass die hinter der Grenzkante befindliche räumliche 

 Zelle zugleich einen positiven und negativen Koeffizienten hat, was eben nnr für einseitige 

 Polyeder zulässig ist, bei denen von einem Inhalte nicht gesprochen werden kann (vergl. V. u. V. S. 72). 



