Die gleicheckig-gleichflächigen, diskontinuierlichen und nichtkonvexen Polyeder. 323 



Koeffizienten +i, also die beiden dreieckigen Zellen den Koeffizienten — i. 

 Dann sind die vier Winkel in il/3, 3Ii, Mj, M^ überstumpf. ixnd es ist, da 

 der Winkel C^M^M. in der Figur des Triakontaeders nach früherer Berechnung 

 gleich (p ist, die Winkelsumnie des Achtecks ^{4.E—(p) + 4:[E + <p)=^2QR= iOjt. 

 Danach ist die Art dieses Vielecks unabhängig vom Polyeder bei dem an- 

 genommenen Sinne des Perimeters a = - " ~ — = 3. Das von 30 solchen 

 Flächen begrenzte Polyeder zeigt Fig. 12 Taf. 24. Berechnet man die 

 Koordinaten des Schnittpunktes der Ebenen der Flächen 1), 14), 10) des 

 Triakontaeders, d. h. die Koordinaten der Ecke M-, der ersten Fläclie, so 

 ergibt sich x^z=^-, y = ^-^^^~-'-d, oder mit Einsetzung der Werte n,h,c 

 für das Triakontaeder als Funktionen von <r: x = 2^dcotg>, y = dta.n'^q). 

 Wie aus der vollständigen Figur ersichtlich ist, gehen durch jeden Punkt 3f 

 neben der Ebene l) noch drei Ebenen des Triakontaeders; die Ecken des 

 entstehenden Polyeders sind überschlagene vierkantige der vierten Art, da 

 jede Ecke zwei Uberstumpfe Kantenwinkel haben muss, weil sie von den 

 abwechselnden Kanten M^IL — M^Mi und J/,il/; gebildet wird. Das Polyeder 

 besitzt ■ = 60 solche Ecken. Nun sind 71/, und ill, wegen ihrer Lage 

 gegen 6?, die E(:ken einer fünf kantigen Grenzfläche des Hüllpolyeders; M.^ 

 und J/| aber zugleich die einer sechskantigen Grenzfläche, wie ihre Lage 

 gegen den Achsenpunkt C-, erkennen lässt. Da aber Jl/, M-, am Polyeder 

 mit itfjilfi identisch ist, so ist das Hüllpolyeder ein (12 -f 20) -flächiges 12.5- 

 Eck.') — Es ist nun die Ecke 31-,, wenn man das 12. 5 -Eck nach seinen 

 Achsen in gleicher Weise wie das Triakontaeder orientiert, die Ecke lO) 

 des Hüllpolyeders, d. h. die aus den Ecken 12) und 13) eines 2.60-Ecks 

 resultierende Ecke des 12.5-Ecks. Demnach ist arg = ^^ = rfcotf/i, y.i=dt&n'^(p 

 und aus den Formeln 85) berechnet man für die Parameter s und t dann: 



s = i, < = i+l^°*?cos2(p = ^J^. Für die Kanten dieses bereits be- 

 2r|-cotgD 5 



sprochenen 12. 5 -Ecks hatte man die Proportion h, :/c3 = 1 : ^^ "*" -^. Nun 



grenzt die erste Fläche Jf, Jf , •• ■ M^ des Polyeders mit der Kante M<^ 31^ an 



1) In analoger Weise kann man für sämtliche Polyeder ans der vollständigen Figur 

 der Grenzfläche bei einiger Überlegung die BeschaflFenheit der Htille erschliessen. 



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