324 Max Brückner, 



die Kante Mi Mi einer NachbarÜäclie, d. h. eine negative Flächenzelle an 

 eine positive, wonach sich das Polyeder sofort als einseitig erweist. Die 

 Berechnung der Kanten der Grenzfläche, des Radius des umbeschriebenen 

 Kreises, sowie des Radius der umbeschriebenen Kugel des Polyeders ist 

 hier eine sehr einfache, da die x- und y-koordinaten der Punkte Mt,Mi 

 und M^ bekannt sind , nämlich M-; (x = 3:3,«/ = y^), M, {x = y3, y = xj) und 

 M^ {x ^ —Xi, y = 2/3). Es ist 



M-,M^ = 2a;3 = 2dcotg) ^ d(\/ö + 1); 



Jf, M, = 1/(^3 +2/;.)= + (^3-2/3)2 = 1/2^2 + 2/3-0 =d\/2{ cot'i<p + üni'^) 



= dl/2. 1/5— 1/5 = 2dsin<p.\/b. 



Demnach ist der Radius des umbeschriebenen Kreises der Grenzfläche: 



r = i/xs'^ + y^i= d 1/ 5 —1/5, und der Radius der umbeschriebenen Kugel des 



Polyeders: R ^^/x^'^-^y^'^ + s^^ = d\/2cof^<p + tsiai^ = d\/ ^ — ^—. Für die Unter- 

 suchung des reziproken Polyeders sei bemerkt, dass die Ecke 1) des 

 Polyeders, d. h. die Ecke 1) des umhüllenden 12.5-Ecks die Kanten nach 

 den Ecken 3), 15), 6), 18) besitzt. 



ß) Das zweite Möbiussche Polyeder hat zur Grenzfläche das Achteck 



0, O2 O9 in der vollständigen Figur des Triakontaeders (Fig. 3, Taf 17) 



mit lauter positiven Zellen, wobei aber die zwei Kanten O2O3 und 0^0^ 

 dem Mittelpunkte jetzt die Aussenseite zuwenden. Die Winkelsum'me ist 

 4y + 4(-R— y) = 2jr, also hat man für die Art« des Achtecks, das keine 



übersturapfen Kantenwinkcl besitzt a = - -— = 3. Das von 30 solchen Acht- 



ecken begrenzte Polyeder ist in Fig. 10 Taf. 24 dargestellt. Die Ecke O3 

 des Polygons, gebildet von den Ebenen 1), 15), 23) des Triakontaeders ist 

 die Ecke 18) eines (12 +20) -flächigen 12.5-Ecks, d. h. die Ecke 23) -n^ 33) eines 

 2.60-Ecks, wie man in gleicher Weise wie unter «) ableitet. Aus den 

 Gleichungen l)c,z—d^O, 15)ciy— d = 0, 23) hiX + c^y—aiZ—d = folgt: 



,^y = <i = ,Uoi^,^ = ^JIz3±^ d=''}^^d = d.'±/l und man er- 

 Ci C1O2 tsLU^cp 2 



hält also für die Parameter s und t der Hülle des Polyeders aus den 



Gleichungen 87) die Werte: s = 1, t^^—^"^^ cos^^, = ^\/Az±, Auch dieses 



cot(p 5 



besondere (12 -f 20) -flächige 12. 5 -Eck ist bereits aufgetreten. Die Ecken 



