Die gleicheckig-gleichflächigen, diskontinuierlichen und nichtkonvexen Polyeder. 325 



des Polyeders ß) sind wiederum vierkantige überschlagene, (für sich betrachtet 

 sind sie übrigens nicht von der vierten, sondern von der zweiten Art, denn 

 es treten keine überstumpfen Kanteuwinkel auf) und zwar ist die Ecke l) 

 durch Kanten mit den Ecken 26), 43), 27), 46) des 12.5-Ecks verbunden. Ist 

 a ß Y ö der vierkantige sphärische Querschnitt einer Ecke, e dessen Doppel- 

 punkt, so sind die Kantenwinkel der Ecke ausgedrückt durch die Winkel 

 des Polygons (Vergl. Fig. 3 Taf. 17): aß = 0,, ßsy = O4, yd = 0^, öea = 0„ 

 und es sind 0^ und O7 aussen positiv, ebenso die Teile de und ße von O5 

 und O4, während die Teile tu und sy von 0, und O4 aussen negativ sind. 

 Über die Kanten a und 7 der Ecken geht man also auf der Aussenseite des 

 Polyeders aus einer positiven in eine negative Flächenzelle über, wonach 

 das Polyeder sich als einseitig erweist. 



Bezeichnen wir die Koordinaten von O3 mit x = x', y = y\ {z = z'\ 

 so besitzen die übrigen zur Berechnung der Kantenlängen der Grrenzfläche 

 nötigen Ecken die Koordinaten : Oi{x = — y\ y = x'), 0-,{x =^ —x', y = y'). Es 

 sind also die beiden verschiedeneu Kanten des Polygons: 



O3 0, ^ 2x' = (5+ l/5)(?, O3 O4 = \/(x' + yy + {x^—yy = \/2(x'^ + y'-^), 



also da x"^ = 5cPcof^^ ist, O3O4 = 2f?cot9).i/3 = (?(l/5 + i)l/3. Für den Radius 

 des umbeschriebenen Kreises erhält man r =\/x"^ + y''^ = dcot<p.\/6 und für 

 den Radius der umbeschriebenen Kugel des Polyeders: 



B = l/a;'2 + </'M-V2 = dcotq>.\/l. 



y) Das dritte Möbiussche Polyeder hat das Achteck SxSiS^ — S, in 

 der vollständigen Figur des Triakontaeders zur Grenzfläche (vergl. Fig. 5 

 Taf. 17). Die Art dieser Fläche ist wieder a = 3. Wie die Lage der Ecken 

 Si und S-, gegen den Achsenpunkt Ö4 anzeigt, ist die Strecke S^S^ die Kante 

 eines Fünfecks des Hüllpolyeders. Die Lage von S^, und Si gegen C, lässt 

 erkennen, dass S^Sf, die Kante eines Dreiecks ist, d. h. die Hülle des 

 Polyeders muss ein (12 + 20 + 30) -flächiges 60-Eck sein. Eine genauere Be- 

 trachtung ergibt, dass die von den Flächen 1), 15), 26) des Triakontaeders 

 gebildete Ecke S^, die im ersten Oktanten liegt, die Ecke 16) des 60 -Ecks 

 ist, d. h. die aus den Ecken 43) und 33) des 2.60 Ecks durch Zusammen- 

 fallen sich ergebende Ecke des 60-Ecks. Aus den Gleichungen 1) c^z—d = 0, 



