Die gleicheckig-gleichflächigen, diskontinuierlichen und nichtkonvexen Polyeder. 32 1 



die Ecke zunächst als solche eines zweiseitigen Polyeders auffassen wollte, 

 und die erste Ecke des Polyeders sendet ihre Kanten nach den Ecken 

 12), 16), 13), 17), 10), 14), 11), 15) des Triakontagons. Nun ist es an sich klar, 

 dass das Polyeder einseitig sein muss, da polarreziproke Vielflache stets 

 zugleich einseitig oder zweiseitig sind;') doch soll hier und auch für das 

 Polyeder unter ii') direkt der Beweis geführt werden, dass Möbiussche 

 Polyeder vorliegen. Nehmen wir die Zelle B^B^Gi der Grenzfläche positiv, 

 die Zelle i?5i?7 tri negativ, so dass also die Kantenwinkel i?3 und .Bg positiv, 

 die Kantenwinkel B„ und B-, negativ sind, so nehmen an der Ecke Fig. 6 

 Taf. 14 die folgenden Kantenwinkel Teil: Bi,B„,B-,,B^,Bi,B^,B-,B^ d. h. längs 

 vier Kanten , nämlich denen nach den Ecken 16), 17), 14), 15), grenzen 

 positive äussere Flächenzellen an negative äussere Zellen, wonach sich das 

 Polyeder als einseitig erweist. Dasselbe Resultat ergibt sich, wenn man 

 sämtliche 60 Flächen des Polyeders anschreibt: das Möbiussche Kanten- 

 gesetz ist unerfüllbar. Hierüber sei bemerkt, dass die Längen der Kanten 

 des Polyeders, ausgedrückt durch die Kante h des Triakontagons, die 

 folgenden sind: 



B,B^ = 1712 = 1^ = iTTÖ = i;n = -' 1/2(5+1/5); 



k 



BiB-,= 1, 16 = 1, 14 = 1, 17 = 1, 15 = g (1+1/5)1/2. 



j3') Das zu ß) reziproke Möbiussche Polyeder hat zum inneren Kern 



das Pentakisdodekaeder für r = ^ . Die Grenzfläche wäre in der voU- 



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ständigen Fig. 1 Taf. 13 das von den Spuren 26), 43), 27), 46) gebildete Viereck, 

 nämlich das Viereck der Achsenpunkte B^Bi^B^^B^, das in Fig. 5 Taf. 8 für 

 sich gezeichnet vorliegt.^) Das von 60 solchen überschlagenen Vierecken 

 begrenzte Polyeder mit 30 achtkantigen Ecken zeigt Fig. 6 Taf. 25. Seine 

 Ecke 1) besitzt die Kanten nach den Ecken 14), 24), 15), 23), 16), 22), 17), 25) 

 des Triakontagons und hat den in Fig. 14 Taf. 7 dargestellten Querschnitt. 

 Dabei sind die Kanten einer Ecke bezw. Grenzfläche des Polyeders ihren 

 Längen nach die folgenden Diagonalen innerhalb des Triakontagons: 



1) Vergl. V. u. V. S. 76, Nr. 66. 



2) Die Punkte jE?,| und B^.l sind in dieser Figur aus Versehen nicht bezeichnet. Vergl. 

 also Fig. 1, Taf. 13. 



