Die gleicheckig-gleichflächigen, diskontinuierlichen und nichtkonvexen Polyeder. o4d 



Zu Kap. IV § 4 Nr. 8 (vergl. S. 309 und die Anm. S. 203). Zu einer Reihe weiterer 

 kontinuierlicher und diskontinuierlicher NuUpolj'eder führt die genauere Untersuchung der 

 Gruppierungen von 30 Sphenoiden im Dyakishexekontaedertypus, deren Kern ein spezielles 

 gleichflächiges Polyeder und deren Hülle zugleich ein besonderes gleicheckiges Polyeder ist. 

 Die Parameter ö, r der Kernpolyeder sind dann die Koordinaten der Schnittpunkte der 

 Kurven C'4, C5, C^, ... C-n, C23 mit den drei Grenzkurven C'i, C-i, C'3 in den Figuren i, 5, 6 

 Taf. 11 und 4, 5 Taf. 12. In den meisten dieser Fälle ergeben die zwei, in einer Ebene 

 des Kernpolyeders liegenden dreieckigen Grenzflächen zweier Sphenoide ein diskontinuierliches 

 Sechseck zweiter Art, wie Fig. 1 Taf. 15 zeigt. Da aber bei solchen Flächen (falls nur die 

 Figur sämtliche Spuren enthält!) durch jede Ecke fünf Spuren laufen, weil in allen Ecken 

 des IlüUpolyeders zwei Ecken verschiedener Sphenoide zusammenfallen, so kann man den 

 beiden Dreiecken der Grenzfläche entgegengesetztes Vorzeichen beilegen, so dass sie vereint 

 ein diskontinuierliches Sechseck dritter Art des Inhalts Null bilden. Von den 30 

 Sphenoiden der Gruppierung sind dann gleichviel positiv und negativ; jede diskontinuierliche 

 sechskantige Ecke sechster Art entsteht durch Zusammenfallen zweier Ecken, die einem 

 positiven und negativen Sphenoide zugehören. Bei Umkehrungt der Färbung des Gesamt- 

 polyeders geht jede Fläche und jede Ecke in sich selbst über; das Polyeder hat die Art 



A = — = 90. Solche diskontinuierliche Nullpolyeder stimmen in den Ecken des 



Hüllpolyeders und der Gestalt vieler räumlicher Zellen mit den Sphenoidgruppierungen der 

 entsprechenden Grenzfläche überein; nur besitzt die innerste deltoidförmige Zelle der Fläche 

 (wie in Fig. 1 Taf. 15) stets den Koeffizienten Null und den räumlichen Zellen des Polyeders 

 kommen andere Koeffizienten zu, wie den entsprechenden Zellen der Sphenoidgruppiernng. 



Diese dem Dyakishexekontaedertypus eigentümlichen Nullpolyeder sind im Hexakis- 

 oktaedertypus nicht vorhanden, da die Hüllpolyeder der Gruppierungen von Sphenoiden mit 

 speziellen inneren Kernen (6 -(- 8 -f 12) -flächige 2.24-Ecke bleiben, so lange nicht Ecken 

 der beiden die Grenzfläche bildenden Dreiecke zusammenfallen, wie in Fig. 7 Taf. 5. In 

 diesem Falle aber ergab sich durch andere Auffassung der Figur (vergl. Fig. 13 Taf. 6) ein 

 kontinuierliches Sechseck dritter Art des Inhalts Null, bei dem zwei Ecken in einem 

 Punkte liegen, das die Grenzfläche eines kontinuierlichen Nullpolyeders bildet. — Dieser 

 besondere Fall tritt auch (wie erst während des Druckes vorliegender Arbeit durch genauere 

 Untersuchung der verfügbaren 14 vollständigen Figuren gefunden wurde) bei den Sphenoid- 

 gruppierungen des Dyakishexekontaedertypus sechsmal auf, und zwar für die Parameter 

 (J, T der speziellen Kernpolyeder, die als Koordinaten den Punkten C, -E, 0, L, 31, S auf 

 den Kurven t'3, Co und Cj zugehören, deren Werte durch die Formeln 112'), 114'), 123'), 

 130'), 132') und 147') auf S. 204 — 227 gegeben sind. Nur in diesen sechs Fällen bilden 

 die beiden Dreiecke in der Ebene 1) des inneren Kernes ein kontinuierliches Sechseck der 

 oben beschriebenen Gestalt, das die Grenzfläche eines kontinuierlichen 60-flächigen und 60- 

 eckigen Nullpolyeders der Art ^ = 90 darstellt. Bei jeder der kontinuierlichen 2. 3 -kantigen 

 Ecken sechster Art, deren Querschnitt Fig. 13 Taf. 3 zeigt, liegen zwei Kantenwinkel in einer 

 Ebene, weshalb in der Figur der Grenzfläche hier durch jede ihrer Ecken nur vier Spuren 

 laufen. Von der Wiedergabe der Flächen dieser sechs kontinuierlichen Nullpolyeder, für die 

 in den Noten Vlll, IX und X die nötigen Angaben enthalten sind, muss hier ebenso wie 

 von der Darstellung der Polyeder im Modell abgesehen werden; wir stellen jedoch im 

 folgenden die hauptsächlichsten Daten für diese drei Paare polarreziproker Vielflache zusammen. 



