[17] Tafeln für das Goldbach'sclie Gesetz. 17 



Herr Stäckel erwähnt in seiner Mittheilung, das« die Zahlen G-in 

 die erzeugende Function: 



V^ ^ zP I" (1 — s2)2 ^ V P{2q + 1) Z^i^ + ' 



besitzen, wo / alle ungeraden Primzahlen 1, 3, 5, 7, ... . durchlaufen soll 

 und F{2q + 1) die Anzahl aller dieser Primzahlen < 2p + 1 bezeichnet. 



Mit Hülfe dieser Relation lässt sich aber ein genauer Ausdruck') 

 für G-2m und somit auch für i' herleiten. Durch Vergleichung der Coeffi- 

 cienten gleich hoher Potenzen von z erhält man: 



a = 



PCZg + 1) — 2^(2^ — 1) + P{2q — 8) P{2u — 2g — 1) 



p — 8) P(2;/ — 2 



wobei die beiden rechts auftretenden Grössen P mit negativem Argument, 

 P[ — 1) und P{ — 3), gleich Null zu setzen sind. Führt man noch 



g(2p + 1) ^ P(2p + 1) — 2P(2p — 1) + i'(2p — 3) 



ein, so kann die zahlentheoretische Function g nur die Werthe 1, 0, — 1 

 annehmen, und zwar ist: 



g(2p + l)^ 1, wenn 2p + 1 eine Primzahl, 2p — 1 aber keine solche ist; 



|(2p + 1) ^ — 1, wenn 2p + 1 keine Primzahl, 2p — 1 aber eine solche ist; 



s(2p + l)^^ 0, wenn 2p + 1 und 2p — 1 entweder beide Primzahlen oder 



beide keine solchen sind; 



m = 1- 



Für V erhält man dann die Formel : 



v = \ ^ P(2;^— 2p — l)g(2p + l) + 2, 

 P = 1 



wo i = 1 oder = ist, je nachdem n eine Primzahl ist oder nicht. 



') Wie Herr Stäckel angiebt, behauptet Sylvester mit Hülfe der erzeugenden 

 Tunctionen einen genauen Ausdruck für Gin gefunden zu haben (London Math. Soc. 

 l'roceedings Vol. IV. 1871), den er aber leider nicht mitgetheilt hat. 



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