Lis sei w eine geschlossene Oberfläche stetiger Krümmung-/) dm(§}]C) 

 ein Element der Oberfläche, f eine gegebene Funktion der Stelle auf der 

 Fläche, die derart stetig ist,*) dafs für irgend zwei Punkte l und 2 der 

 Oberfläche in der Entfernung r,2: 



1. \f2 — f[\^C.ri2; {X>o, C endliche Konstante); 



k sei eine gegebene (positive oder negative) Zahl; wir suchen je eine 

 Potentialfunktion U, bezw. Ua des Innen- und Aufsenraumes der Fläche zu 

 konstruieren, sodafs 



idUa SUi _ , fdUa ,dü.\ „.) 



an 03. 



Ua = Ui 



Die erste, einwandfreie Lösung des Problems^) baute sich auf ein 

 Theorem von Zaremba^) auf;^) die Ableitung dieses Theorems bedarf aber 



') D. h. wir setzen voraus, dafs die Richtungskosinusse der inneren Normalen: 



cos {vx), cos {vy), cos (r^) 



auf w eindeutig und stetig sind und endliche (im allgemeinen eindeutige stetige) erste Ab- 

 leitungen besitzen. 



-) Die Untersuchung läfst sich auch leicht auf den Fall ausdehnen, dafs die Funktion /' 

 auf m nur (abteilungsweise) eindeutig und stetig vorausgesetzt wird. Allerdings werden die 

 Lösungen U dann im allgemeinen nicht Potentialfnnktionen in der hier stets gebrauchten 

 Bedeutung sein, dafs ihre ersten Ableitungen bis an die Fläche m heran stetig sind. 



3) Im Falle der Ebene kann man auch mit Hilfe der Fredholm -Hilbertschen Methoden 

 (Theorie der linearen Integralgleichungen) zur Lösung gelangen, für das dreidimensionale 

 Problem treten aber diesen Methoden gewisse Schwierigkeiten entgegen, die sich wohl auch 

 mit der Zeit werden überwinden lassen, die mir aber bisher noch nicht gehoben scheinen. 



■*) S. Zaremba, Sur la theorie de l'equation de Laplace et les methodes de Neu- 

 mann et de Robin, Krak. Anz. 1901. 



s) A. Korn, Abhandlungen zur Potentialtheorie 5, Ferd. Düramlers Verlag, Berlin, 

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