[25] Die Gültigkeit der Neumann -Robinschen Methoden. 173 



71. 1/:, — fi\ ^ C-rii, {C endliche Konstante, ^ > 0), 



SO bilde man sukzessive die Funktionen: 

 _ _ 1 f dm 



OJ 



'^ ~ 4^y V ^v ^ 8v j r ' ^ ~ ^' ^ ■ ■ 



Vi 



dann stellt die Reihe: 



U = T'(, + T'j + T'o + . . + willkürliche Konstante 



die Potentialfiinktion des Innenraumes mit den normalen Ableitungen: 



8U_ 

 8v '' 

 an CO dar, die Reihe 



Z7=-r„ + F,-F, + .. 



die Potentialfunktion des Aufsenraumes mit den normalen Ableitungen 



SU 



dar. 



Von der Stetigkeitsbedingung 71. kann man sich in bekannter Weise 

 mit Hilfe des Hilfssatzes I. befreien, und man braucht für die Gültigkeit 

 der Robinschen Methode lediglich vorauszusetzen, dafs f auf w (abteilungs- 

 weise) eindeutig und stetig ist (vgl. Abh. zur Potentialtheorie 3, S. 9 ff.). 



Es ist schliefslich gleichfalls bekannt, dafs mit der Anweudbarkel 

 der Robinschen Methode auch die Anwendbarkeit der Neumannschen Methode 

 zur Lösung der ersten Randwertaufgabe bewiesen ist (man vgl. Lehrbuch 

 der Potentialtheorie I, S. 250 ff., Abh. zur Potentialtheorie 1). Dabei braucht 

 über die gegebenen Randwerte bei der ersten Randwertaufgabe lediglich 

 vorausgesetzt werden, dafs dieselben auf m (abteilungsweise) eindeutig und 

 stetig sind.') 



1) Der Beweis, dafs die Methode auf den allgemeinen Fall von lediglich auf m 

 (abteilungsweise) eindeutigen und stetigen Randwerten ausgedehnt werden kann, den ich in 

 meiner Abh. zur Potentialtheorie 1, S. 19 ft'. gegeben habe, kann ein wenig vereinfacht werden 

 (vgl. Liapounoff, Comm. de la Soc. Math, de Kharkow, 1902), noch eleganter als durch die 

 von Liapounofl' gegebenen Sätze, durch die Kombination der beiden Sätze la und III in 

 meiner Abh. Ann. Kc. Norm. (3) 24, 1907, S. 14 und 18. 



