TJieorie der liomogen zusammengesetzten Raumgehüde. (p. 1 1 ) 347 



I. Homogene polygonale Figuren. 

 1) Figuren in der Ebene. Qil\)^) 



Ein homogen zusammengesetztes Polygon nennen wir im Folgenden : 

 Homogene polygonale Figur. 



a. Allgemeine Formeln. 



Gesammtzahlen der Gebilde. — Ist in einem beliebigen ebenen Polygon 

 die Zahl der Ecken durch e, die der Seiten (Kanten) durch k, die der Flächen, 

 welche gleich 1 ist, durch s bezeichnet, so ist k = e, s=l, mithin 



(1) e + s — k = 1 . 



Nehmen Avir an, diese Gleichung gelte noch für eine m-theilige poly- 

 gonale Figur. Lässt sich dann zeigen, dass sie auch nach Hinzufügung eines 

 weiteren Polygons noch gilt, so gilt sie nach dem Schlüsse von m auf m + 1 

 allgemein. Hat nun das hinzutretende Polygon p Kanten, von denen q mit 

 schon vorhandenen Kanten zusammenfallen, so beträgt der Zuwachs an Kanten 

 p — q, an Ecken p — q — 1, an Flächen 1. Die neue aus m+1 Polygonen 

 zusammengesetzte Figur hat also e + p — q — 1 Ecken, s + 1 Flächen, k + p — q 

 Kanten. Da nun 



(e + p-q-l) + (s+1) - (k + p — q) = e + s-k = 1 



ist, so gilt allgemein der Satz: 



I. In jeder polygonalen Figur ist die Zahl der Ecken und 

 Flächen zusammen um 1 grösser als die Zahl der Kanten. 



Aum. Dieser Satz folgt auch unmittelbar, wenn man das Gebiet der Ebene 

 verlassen will, aus dem Euler'scben. Lässt man nämlich eine Seite des Polyeders weg, 

 so kann man die übrig bleibende Fläche als eine polygonale Figur ansehen, deren Grenz- 



1) Wir bezeiclmen durcli M ein beliebiges Gebiet (Mannigfaltigkeit), durcli den unteren 

 Index die Zahl seiner Dimensionen, und durch einen oberen (+, 0, — ) die Beschaifenheit seiner 

 Krümmung. 



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