348 Victor Schlegel, (p. 12) 



kanten die Kanten der weggenommeneu Fläche sind und die sich ohne weitere Ver- 

 änderung in dei" Zahl der Seiten, Ecken und Flächen auch auf die Ebene ausbreiten 

 lässt. — Die Theile der in Satz I erwähnten polygonalen Figur können übrigens auch 

 convexe Winkel enthalten. 



Aeussere und innere Gebilde. — Wir bezeichnen eine Ecke oder 

 Kaute der homogenen polygonalen Figur als äussere oder innere, jenachdem 

 sie dem Randpolygon angehört oder nicht. Eine Fläche heisst innere, 

 wenn keine ihrer Ecken oder Kanten dem Randpolygon angehört; sonst 

 äussere. Es sei ferner die Zahl der inneren Gebilde diuxh den Index 1, 

 die der äusseren durch den Index 2 von der Gesammtzahf unterschieden; 

 dann hat man zunächst die Gleichungen 



(2) ei + es = e ; kj + kj = k ; si + S2 = s . 



Ferner ist offenbar 



(3) ka =-62. 



Es sei ferner die Kantenzahl jedes einzelnen Poh'gons mit n und die 

 Zahl der in jeder Innenecke zusammentreffenden Flächen (und Kanten) mit p 

 bezeichnet. 



a) Unter dieser Voraussetzung liefert jedes der s Polygone zu der 

 polygonalen Figur n Kanten. Da aber hierbei jede der kj inneren Kanten 

 doppelt gezählt ist, so ist die Gesammtzahl der Kauten 



H) k = sn — kl. 



b) Ferner liefert jede der k Kanten 2 Ecken. Dies würde 2k Ecken 

 geben. Aber an jeder Innenecke stossen p Kanten zusammen, also ist jede 

 Innenecke p-fach gezählt, daher Cj (p — 1) zu subti-ahiren. Von den Aussen- 

 ecken sind erstens diejenigen do])pelt gezählt, welche zwei benachbarten Aussen- 

 kanten angehören. Da dies aber für alle Aussenecken zutrifft, so ist e, zu 

 subtrahiren. Wenn ferner k^ Innenkanten nach Aussenecken laufen , so ist 

 noch ks zu subtrahiren ' ), also ist die Zahl der Ecken im Ganzen 



e = 2 k — ei (p — 1 } — e2 — ks, 



woraus mit Benutzung von (2) und (3) folgt: 



(5) kä = 2 kl — ei p . 



ij Der Fall, dass eine Innenkante zwei Aussenecken verbindet, wird ausgeschlossen. 

 IJiese Kante müsste nämlieli doppelt gezählt werden, während sie in der Anschauung nur 

 einfach erscheint. 



