Theorie der homogen zusammengesetzten Raumgebilde, (p. 13) 34:9 

 Wenn zu jeder Aussenecke gleichviele Innenkanten gehören, so gehören 



kg 



ZU einer Aussenecke - Innenkanten und 2 Anssenkanten , im Ganzen also 



- + 2 Kauten. Wenn insbesondere an jeder Aussenecke ebeusoviele Kanten 

 zusammeutretfen sollen, wie an jeder Innenecke, nämlich p, so ist 



^ + 2 = p; ks = (p — 2) 62. 



Setzt man diesen Werth von k., in (5) ein, so folgt 



(5a) 2 k = pe. 



Au in. Es ist jedoch nicht zu übersehen, dass die Formel k} = (p — 2)ej nur 

 über die Anzahl der nach Aussenecken laufenden Innenkauten eine Bestimmung trifit, 

 nicht aber über deren Vertheilung an die einzelnen Aussenecken, so dass sie, ebenso 

 wie (5a) auch für solche Figuren gilt, bei welchen diese Kanten unregelmässig vertheilt 

 sind. Die Formel (5a) lässt sich auch direct durch geometrisclie Betrachtung finden. 



Wir nenueu eine homogene polygonale P'igur vollständig, wenn in 

 jeder Aussenecke ebensoviele Kanten zusammeutretfen, wie in einer Innenecke, 

 nämlich p. Die Zahl der in jeder Aussenecke zusammentretfenden Polygone 

 ist dann p — 1. Für derartige Figuren gilt also die specielle Formel (5a). 



c) Endlich liefert jedes der s Polygone n Pocken. Hierbei ist aber 

 jede der Ci inneren Ecken p-fach gezählt. Also ist von der Gesammtzahl 

 Ci (p — 1) in Abzug zu bringen. Ferner sind alle diejenigen Elcken des Rand- 

 polygons doppelt gezählt, die zwei benachbarten, an Kanten des Randes 

 liegenden Polygonen angehören. Sei S3 die Zahl dieser Polygone, so ist S3 

 auch die Zahl der doppelt gerechneten äusseren Ecken, also S3 in Abzug zu 

 bringen. Endlich sind alle diejenigen \"on diesen S3 Ecken sogar dreifach 

 gezählt, welche nicht nur zwei benachbarten von diesen S3 Polygonen, sondern 

 auch noch einem der («2 — 83) Polygone augehören, welche nur eine Ecke 

 zum Randpolygon liefern. 1) Iils sind daher noch weitere (S2 — S3) Ecken in 

 Abzug zu bringen, also im Ganzen 



(p — I I Cl + S3 + {S2 — S3) = (p f) 61 + S2. 



'■) Der Fall, dass eine äussere Ecke mehr als einem dieser (s2 — S3) Polygone an- 

 gehört, giebt dasselbe Resultat, da für jedes neu hinzutretende Polygon eine Ecke in Ab- 

 rechnimg gebracht werden muss. Der Fall, dass ein Polygon gleiclizeitig melireren äusseren 

 Ecken angehört, wird ausgesclüosseu. Dieses Polygon müsste nämlich mehrfach gezählt werden, 

 während es in der Anschauung nur einfach erscheint. 



