Tlieorie der homopcn zusammenffesetzten UamnßehiMc. (p. 15) 351 



Setzt man die Werthe von k nnd e aus (7) und (8) in (1) ein, so er- 

 hält man nach einigen leichten Umformuno-en : 



(10) s[2(n + p) — iip] - [2(k2+p)-k2p] = 2(s — si).») 

 Hieraus folgt 



, , , , _ 2(s-s.) + 2p-s[2(n + p)-np] 



(II) k2 — j^-^^^ 



Setzt man diesen Werth in (7) und (S) ein, so erhält man 



CI2) 



, s[(n — l)(p — 1) — u] +(p — s,). , s(p — D — (p — s,). 



__ 3 s + 2 p — Si - 2 — s [2 (n + p) — n p] s + %i—2 



' ^ p — 2 '°'~"p — 2' 



Durch die Gleichungen (9), (11), (12) ist die oben gestellte Aufgabe 

 gelöst. 



Zu diesen für homogene Figuren im Allgemeinen geltenden Gleichungen 

 treten für vollständige Figuren noch die Bedingungen (5a) und (6a). Nun 



folgt aus (12) 



k -|- kl ^= s n , 



und, wenn man (3) hierzu addirt : 



2 k = s u 4- 62 . 



Fügt man zu dieser allgemein giltigen Gleichung die Bedingung (5a), 

 so erhält man (6a). Letztere beiden Bedingungen haben also denselben Inhalt 

 und folgen auseinander, sind also nur für eine einzige zu rechnen. 



Da die Formeln für kj und Ci die Grösse n nicht enthalten, so hat 

 man beiläufig den Satz : 



IL Wenn zwei homogene polygonale Figuren gleichviele 

 äussere und innere Flächen enthalten und in den inneren Ecken 

 der einen ebensoviele Flächen zusammeustossen, wie in denen 

 der anderen, so haben auch beide gleichviele innere Kanten und 

 Pocken, wenn auch die Polygone, aus denen sie bestehen, ver- 

 schiedene Seitenzahl haben. 



1) Aus dieser Formel folgt 



g ^ 2 s, + [2(k,-|-p)-k,p] 

 2 (u + p) — n p 



Man kann also für gegebene Wertlie von n und p, und k^ und «2, s berechnen, d. h. aus der 



Zahl der Aussengebilde S2 und k2 diejenige aller Flächen. 



