352 Victor Schlegel, (p. 16) 



Um nun zur näheren Bestimmung" der verschiedenen Arten homogener 

 polygonaler Figuren zu gelangen, stellen wir in Bezug auf die Grössen n und 

 p drei Fülle auf und suchen in jedem Falle die C4 rossen s und Si in Grenzen 

 einzuschliessen. 



Wir können in Bezug auf die zuerst in (10) auftretende Funktion 

 2 (n + p) — n p folgende Fälle unterscheiden : 



2 (n + p) — n p > , oder ^^^ > p , oder ^^ > n , 



2(u + p) — np = 0, oder ^^^ = p, oder ^^ = n, 



2(n + p) — np < 0, oder ^^ < p, oder ^^ < n. 



Wir setzen zur Abkürzung 



(13) 2(u + p)-np ^ A. 



b. Specielle Untersucliung der homogenen polygonalen Figuren. 



Erster Fall: A > 0. 

 Wir können jetzt die Formel (11) in der Gestalt schreiben: 



, s (2 — A) + 2lp — s,) 



p — 2 



1) Ist A>2, so ist s (2 — A) negativ, folglich muss p — Si positiv 



sein, d. h. Sj <p. Ferner muss s (A — 2) < 2 (p — Sj), also s < a _ 2 ^^'° ^ 

 d.h.: Für einen gegebenen Werth von p kann, wenn A>2 ist, die Flächen- 

 zahl der polygonalen Figur eine bestimmte Grenze nicht überschreiten. 



2) Ist A = 2 , so muss wiederum Si < p sein und k^ kann nicht in's 

 Unendliche wachsen. In diesem Falle haben alle, denselben Werthen von 

 n, p, Sj entsprechenden polygonalen Figuren gleichviele Aussenkanten , wie 

 gross oder klein auch s sein mag. 



3) Ist A ^ 1 , so folgt aus der letzten Formel 



(p _ 2 ) kä = s + 2 p — 2 s, .=z s, — Si + 2 p 

 oder 



(p — 2) k2 — S2 = 2 p — Si . 

 Ist nun 



(p — 2)k2^ss,, 

 so ist auch 



2p^si; 



