356 Victor Schlegel, (p. 20) 



Anm. Die Fälle mit ungeradem s sind wegen der in ki und d enthaltenen 

 Nenner auszuscliliessen. Die Construction der Fälle s = 2, 4, 6 ist aus der vollständigen 

 Figur zu ersehen. Das Bilduugsgesetz derjenigen Figuren, für welche s > 8, ist aus der 

 Zeichnung leicht zu erkennen. Uebrigens kann s beliebig zimehmen, wobei zwei Aussen- 

 ecken ihre Eigenschaft als solche behalten. — In Figur 3 c werden die Formeln für ki 

 und ei illusorisch, weil Innenkanten vorhanden sind, welche zwei Aussenecken verbinden. 



Wird p > 4 angenommen, so ergeben sich Wertbe von n, welche ge- 

 brochen und < 3, also unbrauchbar sind. 



3) A<2, oder n> ^^^~^^ . 

 P — ^ 



Da A > sein soll, so bleibt nur der Fall übrig 



1 2 p — 1 



A = 1 , oder n = ^_^ ■ 



a) Setzt man p ^ 3, so folgt n ^ 5. 



Weiter erhält man: 



k;. = e2 = s + 6 — 2 Si . 



Die Zahl der äusseren Ecken und Kanten hat hiernach nicht, wie in 



den früheren Fällen, eine obere Grenze. 



Für die vollständige Figur ist nach (13a) 



si = 6, 

 also 



k2 = e2 = s — 6; ki = 2s + 3; ei:=s + 4; k3=s-6. 



Anm. Da die Formel (13a) diesmal nicht, wie sonst, einen Werth für s, 

 sondern einen solchen für Si liefert, so könnte es scheinen, als ob s unbegrenzt 

 zunehmen könne. Dies ist aber nicht der Fall, wie folgende Betrachtung zeigt. Nimmt 

 in der Formel k^ == s -(- — 2 si die Grösse s um 1 zu , während sj unverändert 

 bleibt, so nimmt auch k^ nur um 1 zu. Es dürfen also, wenn die Zahl der luuenflächen 

 sich nicht vermehren soll, an eine polygonale Figur nur solche Flächen angesetzt werden, 

 welche die Zahl der Aussenkanten um 1 vermehren, d. h. mit der vorhandenen Figur 

 wenigstens durch 2 Kanten zusammenhängen Nun kann an zwei anstossende Aussen- 

 kanten A B und A C keine gemeinsame Fläche gesetzt werden, erstens, wenn keine oder 

 2 Innenkanten nach A führen, weil sonst für den Punkt A p = 2, resp. 4 wäre. Das 

 Zusammensetzungsverfahren ist also, da Si den Werth 6 nicht überschreiten soll, beendet, 

 sobald alle Paare benachbarter Kanten eine dieser beiden Eigenschaften haben. — Dass 

 aber die Zahl der Aussenkanten sich ausserdem durch Hinzufügung neuer Flächen ver- 

 mindert, zeigt folgende Betrachtung. Da eine Aussenfläche im Allgemeinen drei Aussen- 

 kanten hat, so verwandelt sie sich in eine Innenfläche, sobald drei neue Flächen an ihre 

 Aussenkanten angelegt sind. Ist nun x der bei diesem Verfahren stattfindende Zuwachs 

 an Aussenkanten, so folgt aus der Formel 



