Theorie der homogen zusammengesetzten Raumgebilde, (p. 21) 357 



k2 = s + 6-2si, 



QäSS 



k2+x = (s+3) + 6 — 2(si+l), 

 also 



X = 1. 



Beträgt aber der bei diesem Vei'fahren erzielte Zuwachs von Innenflächen nicht 

 1, sondern r, so ist 



kä+x = (s + 3) + 6 — 2(si+r) 

 also 



X = 3 — 2r, 



d. h. X ist negativ, und die Zahl der Aussenkanten nimmt ab. 



Die für s fehlende Bedingung ergänzen wir aus der charakteristischen 



Eigenschaft der regelmässigen Figur, dass e2 ^ k, = n sein muss. Dann 



ist also 



k2 = es = 5 ; s = 1 1 ; ki = 25 ; ei = 1 5 ; ks = 5 . 



Wir nennen diese Figur die elftheilige pentagonale Figur (Taf. 1. 

 Fig. 4a). Zwei andere vollständige Figuren erhält man, wenn man die Fünf- 

 ecke anstatt um eine Fläche, um eine Ecke oder Kaute herum anordnet. 

 Die zugehörigen Werthe sind 



k2 = e2==6; s=12; ki = 27 ; ei=16; k3 = 6. (Taf. 1. Fig. 4b und 4c.) 



b) Setzt man p = 5, so folgt n = 3. 



Weiter erhält man 



, s + 10 — 2 s. 

 h2= e2 = 3 i. 



Demnach hat auch hier die Zahl der äusseren Ecken und Kanten keine 

 obere Grenze. 



Für die vollständige Figur ist nach (13 a) 



si = 10, 



also 



s— 10 , 4s+5 s+8 , 



62= — 3 — ; Kl = — 3 — ; ei = — g— ; k3=s— 10. 



Anm. Da s-j-lO — 2si durch 3 theilbar sein muss, so sind nur solche Ver- 

 mehrungen von s und si zulässig, welche dieser Bedingung genügen. Ist r der Zuwachs 

 von s und ri der gleichzeitige Zuwachs von si, so findet man als Bedingung: 



r ^ 2 r, Mod. 3. 

 Hiemach kann sein 



r = 1 , 2, 3 

 ri = 2 , 1 , . 



