358 Victor Schlegel, (p. 22) 



Nun beträgt der Zuwachs au Aussenkanten in diesen drei Fällen resp. — 1, 0, + 1- 

 Die Grösse kj nimmt also beständig ab, wenn der zum Theil convexe Rand einer bereits 

 gebildeten Figur durch Ausfüllung mit Dreiecken, welche durch je 2 Kanten mit der 

 Figur zusammenhängen, concav gemacht wird, und das ganze Verfahren der Zusammen- 

 setzung hat ein Ende, wenn Si so gross und k2 [= e^) so klein geworden ist, dass an 

 einer Ton je zwei benachbarten Aussenecken bereits 5 Flächen zusammenstossen. 



Die für s fehlende Bedingung ergänzen wir, wie im vorigen Falle, 

 durch die Eigenschaft der regelmässigen Figur, dass k2 = 62 = n sein 

 muss. Dann ist also 



k2 = es = 3 ; s = 1 9 ; ki = 27 ; e, = 9 : ks = 9 . 



Wir nennen diese Figur die neunzehntheilige triagonale Figur 

 (Taf 1. Fig. 5 a). 



Zwei andere Figuren erhält man, wenn man die Dreiecke anstatt um 

 eine Fläche, um eine Ecke oder Kante herum anordnet. Die zugehörigen 

 Werthe sind: 



si=5; k2==e2=5(10); s= 15(20); ki = 2ü; ei=0.: k3=10. 

 Si=8; k2=e2=4(8); s= 18(20); ki = 25 ; d = 8; k3=l0. 



(Taf 1 . Fig. 5b und 5c m i t den punktirten Linien.) 



Anm. Nur ungerade Werthe von p sind zulässig. Ist p>5, also p = 5 + x, 



Q _l_ O V 



SO geht die Gleichung zwischen p und n über in n = ^ . Diese Gleichung lässt 



sich auf die Form bringen x(n — 2) = 3(3 — n). Derselben kanu nur durch den 

 Werth X ^ Ü genügt werden, da sonst n > 2 luid 3 > n , d. h. n < 3 sein müsste. 



Zweiter Fall: A = 0. 

 Schreiben wir die Formel (11) in der Gestalt 



_ 2 (s - s.) + 2 p - iP - 2) k, 



und zweitens, nachdem wir A ^ gesetzt, in der (iestalt 



(p — 2)k2 = 2(s-s,)+2p, 



so geht die erste Formel, wenn A = ist, über in s= ,t» also ist s un- 

 bestimmt. Im Allgemeinen also unterliegt in diesem Falle die Hinzufüguug 

 neuer Flächen zu einer bereits gebildeten Figur keiner Beschränkung. 



Fügt man die Bedingung der vollständigen Figur (13a) hinzu, nämlich 



(p — 2)ki= s — Si(=S2), 



