Theorie der homogen zusammengesetzten Raumgehilde. (p. 25) 361 



ausgehend, die hinzutretenden n-Ecke symmetrisch um dasselbe und nimmt 

 der Einfachheit wegen an, dass die (p — I) Nachbar- Winkel, welche mit einem 

 Winkel des regelmässigen n-Ecks zusammen 4 R beti'agen, einander gleich 

 sind, so kann ein solcher Winkel grösser, gleich oder kleiner sein, als der 

 Winkel des regelmässigen Polygons. Diese Beziehung lautet formulirt: 



2n — 4 



4 — 



n <; 2n — 4 



p^^i ^ n ' 



oder nach einigen elementaren Umformungen: 



2n > 



-p; 



n — 2 



d. h. ein Nachbarwinkel ß des regelmässigen Polygons ist grösser, gleich 

 oder kleiner, als ein Winkel « des letzteren, je nachdem A > = < ist. 

 Betrachten wir nun eines der an das regelmässige Polygon anstossenden 

 Polj'gone so, als sei dasselbe aus einem regelmässigen entstanden, so hat die 

 Aenderung zweier seiner Winkel (ß) die entgegengesetzte Aenderung eines 

 oder mehrerer anderer («i) zur Folge. An den Scheitelpunkten dieser letzteren 

 werden also bei Fortsetzung dieses Zusammensetzungsverfahrens die neuen 

 Nachbarwinkel {ßi) die ursprüngliche Aendernng (nämlich die der Winkel ß) 

 in noch stärkerem Grade erleiden. Die Winkel ß, ßi,. . werden also im 

 ersten Falle (A > 0) beständig wachsen und das Zusammensetzungsverfahren 

 ist beendet, sobald diese Winkel die Grenze 2 R überschreiten, übereinstimmend 

 mit dem oben gefundenen Resultate. Im zweiten Falle (A ^ 0) bleiben die 

 Winkel ß gleich dem Winkel «, alle Polygone, welche dem gegebenen hinzu- 

 gefügt werden, können regelmässig sein und das' Zusammensetzungsverfahren 

 ist unendlich, wie oben gefunden. Im dritten Falle (A < 0) werden die 

 Winkel /f, /3i, . . . immer kleiner, die Winkel «i, «2 • • • immer grösser. 

 Letztere nähern sich der Grenze 2 R, und da gleichzeitig, wie aus der Formel 

 für ka hervorgeht, die Zahl der Aussenkanten (kj) gleichzeitig mit der Zahl 

 der Flächen (s) ins Unendliche zunimmt, so nähert sich der Umfang der 

 polygonalen Figur einer Curve als Grenze. 



Dasselbe Resultat ergiebt sich auch aus einer Vergleichung der Flächen- 

 räume der zu dem ursprünglichen Polygon symmetrisch hinzugefügten Figuren. 

 Man bemerkt, dass dieselben im Falle A >0 beständig grösser werden und 

 dass der die vollständige Figur umgebende Theil der Ebene als unendlich 



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