362 Victor Schlegel, (p. 26) 



grosse Schlnssfigur angesehen werden kann. Im Falle A = bleiben die 

 Polygone beständig gleich gross und erfüllen die ganze unendliche Ebene, im 

 Falle A < nimmt ihre Grösse beständig ab und nähert sich der Grenze 

 Null, woraus wieder die Convergenz des Umfanges gegen eine Curve und 

 die Endlichkeit des Flächeninhaltes der Gesammttigur folgt. Ordnet man die 

 n-P^cke um einen Punkt herum, statt um eine Figur, so findet sich, dass p 

 regelmässige n-Ecke den Raum um einen Punkt herum nicht vollständig aus- 

 füllen, wenn A > 0, dass sie ihn genau ausfüllen, wenn A = 0, imd dass sie 

 nicht darin Platz haben, wenn A < ist. Denkt man sich nämlich um einen 

 Ii^ckpunkt des regelmässigen n-Ecks mit der Seite a als Radius eine Kreis- 

 linie besclu-ieben und bezeichnet die Länge des durch den Poljgon^\iukel aus- 

 geschnittenen Eogens mit Sn, so sind die Grössen 



3s3, 4s3, 5sj, 3s4, 3s5<2a7r, 



6S3, 4s4, 3s6 ^ 2a7r , 



während in allen anderen Fällen p Sn > 2a :t ist. Soll also eine vollkommene 

 Ausfüllung dieses Raumes statt haben, so muss jeder in diesem Punkte anzu- 

 ti'agende Winkel im ersten Falle vergrössert, im zweiten nicht verändert, im 

 dritten verkleinert werden. Dasselbe gilt dann auch von den Winkeln des 

 folgenden Figiirenringes, der zu den ersten p Figuren hinzugefügt wird. Da 

 die Grösse der Figm'en sich in gleichem Sinne ändert, wie diejenige der 

 Winkel, so folgt wiederum, dass im ersten Falle die hinzutretenden Figuren 

 grösser werden und dass nach einer endlichen Anzahl von Hinzufügungen die 

 anzutragenden Winkel convex werden, wobei die letzte Figur der unendlich 

 grosse rings übrig bleibende Theil der Ebene ist. Im zweiten Falle können 

 Winkel und Figuren bis ins Unendliche einander gleich bleiben, im dritten 

 nehmen sie ins Unendliche bis zur Grenze Null ab, übereinstimmend mit den 

 oben o;efundenen Resultaten. 



o^ 



Rückhlkk. — Wir haben fünf endliche und drei unendliche vollständige 

 Figuren kennen gelernt, nämlich 



für A > ü : 



1) die dreitheilige triagonale Figui", a = 3, p:=3, n^3, 



2) die füiiftheilige tetragonale Figui-, A = 2, p = 3, ii = 4, 



3) die siebeutheilige ti'iagonale Figur, A = 2, p = 4, n = 3, 



4) die elftbeilige pentagonale Figur, A= 1, p = 3, n = 5, 



5) die neunzehntheilige triagonale Figur, A^l, p = 5, n = 3, 



