Theorie der homogen zusammengesetzten Raumgehilde. (p. 27) 363 



für A ==^ : 



6) die unendliche hexagonale Figur, p = 3 , n ^ 6 , 



7) die unendliche tetragonale Figur, j) ^ 4 , n = 4 , 



8) die unendliche triagonale Figur, p = 6 , n = 3 . 



Wir bemerken, dass je zwei dieser Figuren sich in der Weise ent- 

 sprechen, dass die Werthe von p und n für die eine durch Vertauschung 

 dieser Werthe für die andere hervorgehen. Dies trifft zu für die Paare 2) 

 und 3), 4) und 5), 6) und 8), während 1) und 7) sich selbst entsprechen. 



Man kann diese Bemerkung in dem Satze ausdrücken: 

 IIa. Wenn zwei homogene polygonale Figuren einander ent- 

 sprechen, so ist die Zahl der Flächen, welche in einer Ecke der 

 einen zusammentreffen, gleich der Zahl der Pocken, welche eine 

 Fläche der anderen besitzt. 



Noch vollständiger wird sich dieses Entsprechen zeigen, wenn wir 

 dieselben Gebilde im Räume betrachten. 



c. Construction vollständiger homogener polygonaler Figuren 



in der Ebene. 



Die Construction dieser Gebilde kann auf zwei Arten ausgeführt werden, 

 nämlich entweder durch Zusammensetzung, oder durch Zerlegung einer 

 gegebenen Figur. Die Constructionen auf dem ersten Wege sind aus dem 

 Vorstehenden vollkommen ersichtlich. In der That genügt es, n und p zu 

 kennen, um jede, und s, um jede vollständige Figur herzustellen. Im letzten 

 Falle bemerkt man, dass, wenn man die Flächen symmetrisch um eine 

 Fläche herum anordnet, die Randtigur dieselbe Seitenzahl hat, wie die ein- 

 zelnen Flächen, mit einziger Ausnahme der triagonalen dreitheiligen Figur, 

 bei welcher die Anordnung um einen Punkt herum stattfinden muss. (Von 

 den anderen Anordnungen wird später die Rede sein.) Erinnern wir uns 

 auch noch des Resultates, dass bei dem Verfahren der Zusammensetzung die 

 Flächen an Grösse beständig zunehmen, oder abnehmen, oder oscilliren, je 

 nachdem A > < = ist. 



Soll hingegen eine gegebene Figur zerlegt werden, so ist neben n 

 und p zunächst kg gegeben. Da das Verfahren nur im Falle A<0 ein 

 begrenztes sein kann, so werden sich in den beiden anderen Fällen die Flächen 



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