Theorie der homogen zusammengesetzten Raiimgebüde. (p. 29) 865 



Die endlichen vollständigen Fig-iiren besitzen noch eine Eigenschaft, 

 welche wir als Umkehrbarkeit bezeichnen können. Denkt man sich die 

 Fignr aus einem dünnen dehnbaren (und umgekehrt conti-actionsfähigen) Stoffe 

 hergestellt und das iimerste Polygon herausgeschnitten, so kann man, da der 

 Aussenrand ein Polygon von gleicher Seitenzahl mit dem Innenrande ist, 

 durch Dehnung des letzteren und Contraction des ersteren den Innenrand zum 

 Aussenrande und den Aussenrand zum Innenrande 'machen , wobei das ganze 

 Cxebilde in den dreidimensionalen Raum hinaustritt, daselbst die Form einer 

 beiderseits offenen Röhre annimmt und in umgekehrter Gestalt in die Ebene 

 zurückkehrt (Vgl. Taf. I, Fig. 1 a — 5 a). Hierdurch erweisen sich Zerlegung 

 und Zusammensetzung als svmmetrisch verwandte Prozesse. 



2) Figuren im euklidischen Kaunie. (M3O) 



Wenn die Zusammensetzung einer polygonalen Figur in der Weise 

 erfolgt, dass je zwei benachbarte Polygone in verschiedenen Ebenen liegen, 

 so tritt das ganze Gebilde in den Raum hinaus und die bisher betrachteten 

 Figuren können als Abbildungen der räumlichen Figuren in einer Eljene be- 

 trachtet werden. Das Randpolygon der vollständigen endlichen Figuren giebt 

 beim Uebergange aus der Ebene in den Raum eine Figur, welche im Verein 

 mit den übrigen Polygonen einen Körper vollständig begrenzt. Es schliesst 

 sich also in diesem Falle (A > 0) die Figur von selbst. In den beiden 

 anderen Fällen ist dies offenbar nicht der Fall. 



Aus jeder ebenen polygonalen Figur geht hiernach eine räumliche 

 hervor und aus jeder endlichen ein homogen begrenzter Körper, dessen Grenz- 

 fläclienzahl um 1 grösser ist, als die Flächenzahl der P^igur. Es lassen sich 

 indessen diese letzteren auch unabhängig von den ersteren bestimmen, wie folgt: 



a. Die geschlossenen Figuren und die homogen begrenzten Körper. 



Sei s die Zahl der I'lächen, e die Zahl der Eckpunkte, k die Zahl 

 der Kanten des durch die geschlossene Figur begrenzten homogenen Polyeders, 

 wähi'end wieder n die Zahl der Kanten einer Fläche und p die Zahl der in 

 einem Eckpunkte zusammentreffenden Flächen bedeutet. Dann ist offenbar 



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