Theorie der homogen zusammengesetzten Baumgebüde. (p. 31) 367 



4p 



^ 4(3 — p) — x(p — 2)' 



ein Ausdriick, in welchem, da p > 2 sein muss, der Nenner stets negativ ist. 

 Man liat hiernach den Satz: 



III. Es giebt im Räume nur fünf Arten geschlossener homo- 

 gener polygonaler Figuren (und durch sie begrenzter homogener 

 Polyeder), nämlich diejenigen, welche das Tetraeder, Oktaeder, 

 Ikosaeder, Hexaeder und Dodekaeder begrenzen. 



Die Beziehungen dieser Figuren zu denen der Ebene (für A > 0) sind 

 evident, ebenso das gegenseitige Entsprechen je zweier hinsichtlich der Werthe 

 von p und n. 



Eine weitere geometrische Bedeutung dieses Entsprechens ergiebt sich 

 aus folgender Betrachtung: 



Setzt man den Werth 



';i6) ^- 2(n/p)-np 



in die anfangs für e und k gefundenen Ausdrücke ( 1 5) ein , so erhält man : 



4n 



(17) e = 



(18) k = 



2 (.11 + p) — n p 

 2np 



2 (n + p) — n p 



Da durch Vertauschung von n und p (16) und (17) in einander über- 

 gehen, während (18) ungeändert bleibt, so hat man den Satz: 



IV. Das homogene Hexaeder entspricht dem Oktaeder, das 

 Dodekaeder dem Ikosaeder, das Tetraeder sich selbst in der Weise, 

 dass je zwei entsprechende Polyeder gleich viele Kanten haben, 

 während die Zahl der Eckpunkte des einen ebenso gross ist, als 

 die Zahl der Flächen des andern. 



Die vollständigen polygonalen Figuren (Taf. 1. Fig. la — 5a) können 

 noch in einem anderen als dem zu Anfang dieses Abschnittes erwähnten 

 Sinne als Abbildungen homogen begrenzter Körper angesehen werden. Nimmt 

 man nämlich an, in jedem derselben übertretfe eine Grenzfläche die übrigen 

 an Grösse so, dass sie von vorn gesehen, alle anderen Flächen verdeckt (so 

 dass sie, wenn der Körper undurchsichtig ist, von allen Flächen allein 

 sichtbar und wenn man ihn von der gegenüberliegenden Seite her betrachtet, 



