368 Victor Schlegel, (p. 32) 



von allen Flächen allein unsichtbar bleibt), und stellt sich nun den Körper 

 als durchsichtig vor, so sind die erwähnten Figuren die gewöhnlichen per- 

 spectivischen Abbildungen jener Körper. Es würden dann bei stereoskopischer 

 Betrachtung zweier entsprechend gezeichneter Figuren alle in das Rand- 

 polj'gon eingeschlossenen Polygone aus der p]bene des Papiers heraustreten, 

 während das Randpolygon (eben jene gi-össte Grenzfläche) allein darin ver- 

 bliebe. — Jene polygonalen Figuren sind übrigens nicht nur die perspec- 

 tivischen ebenen Abbildungen von Körpern, sondern auch Specialfälle dieser 

 Körper selbst, wenn man annimmt, dass alle inneren Polygone mit dem Rand- 

 polygone in dieselbe f^bene fallen. Man hat dann den von dem Randpolygon 

 eingeschlossenen Theil der Ebene doppelt zu denken , nämlich (zu unterst 

 liegend) als einfaches Polygon und (zu oberst liegend) als homogen zusammen- 

 gesetzte polygonale Figur. 



Es sei schliesslich noch an die bekannte Möglichkeit erinnert, die 

 übei-fläche eines homogen begrenzten Körpers durch theilweise Zerschneidung 

 längs der Kanten so auf einer Ebene auszubreiten, dass die Grenzfiguren 

 sich selbst congTuent bleiben und eine zusammenhängende (aber nicht mehr 

 homogene) polygonale Figur l)ilden. 



Anm. Es sei bei dieser Gelegenheit noch einer nicht uninteressanten Eigen- 

 schaft der homogen begrenzten Polyeder gedacht. — Den Umfang eines homogenen Poly- 

 gons kann ein Punkt offenbar in einem einzigen Linienzuge durchlaufen. Es fragt sich 

 nun: Wieviele getrennte Linienzüge sind erforderlich, wenn ein Punkt alle Kanten eines 

 homogen begrenzten Polyeders durchlaufen soll, ohne jede dersellien mehr als einmal zu 

 passiren? Sei e die Anzahl der Ecken und p die Zahl der in einer Ecke zusamnien- 

 stossenden Kanten. Ist p gerade, so kann in jeder Ecke der auf einer Kante an- 

 kommende Punkt seine Bewegung auf einer anderen Kante fortsetzen. Er kann daher 

 sämmtliche Kauten des Polyeders in einem einzigen Zuge umfahi-en. Ist p ungerade, 

 so muss jede Ecke der Anfangs- oder Endpunkt eines besonderen Linienzuges sein; und 

 da jeder Linienzug zwei Endpunkte hat, so beträgt die Zahl der Linienzüge -^ . Die- 

 selbe beträgt hiernach für das Tetraeder 2, Oktaeder 1 , Ikosaeder 6 , Hexaeder 4 , Do- 

 dekaeder 10. Mau kann stets bewirken, dass alle Linienzüge gleichviele Kanten ent- 

 halten, nämlich beim Tetraeder 3, Ikosaeder 5, Hexaeder 3, Dodekaeder 3; ebenso dass, 

 wenn der Körper regulär ist, alle Linienzüge desselben congruent sind. Diese Züge sind 



1) beim Tetraeder (Taf 2. Fig. 11): (1. 2. 4. 3.), (4. 1. 3. 2). 



2) beim Oktaeder (Taf 6. Fig. 23): (2. 1. 3. 5. 1. 4. 2. 6. 4. 5. 6. 3. 2j. 



3) beim Ikosaeder (Taf 7. Fig. 28): (1. 2. 3. 1. 4. 3.), (5. 1. 6. 5. 10. 6), 



(11.5. 4. 11.7. 4), fl2. 11. 10. 12.9.10), (8.12.7.8.3.7), (2.8.9.2.6.9). 



4) beim Hexaeder (Taf. 6. Fig. 25): (2. 5. 6. 7), (5. 8. 3. 4), (1. 4. 7. 8), (6. 1. 2. 3). 



