Theorie der homogen zusammemgeseMen Batmigebilde. (p. 33) 369 



5) beim Dodekaeder (Taf. 7. Fig. 29): (1. 2. 7. 11), (2. 3. 8. 15), (3. 4. 9. 14), 

 (4. 5. 10. 13), (5. 1. 6. 12), (20. 19. 14. 10), (19. 18. 13. 6), (18. 17. 12. 7), 

 (17. 16. 11. 8), (16. 20. 15.9). 



b. Die offenen Figuren. 



Nimmt mau an, dass die Flächen einer offenen Figur bei beliebiger 

 Vermehrung endliche Grösse behalten, so kann man eine offene Figur als eine im 

 Unendlichen geschlossene, d. h. als einen speciellen Fall der geschlossenen P'iguren 

 ansehen und die Formeln der letzteren auf sie anwenden. Nun werden s, 

 e, k gleichzeitig unendlich gross, wenn man in den Formeln (16) — (18) den 

 Nenner gleich Null setzt (A = 0). Dies giebt die Bedingung (14) 



2n 



P = ,7=:2- 

 Man erhält 



1) füi- n = 3: p = 6, (Triagonalfigur), 



2) fiii- n ^ 4 : p = 4 , (Tetragonalfigiu-), 



3) für n = 6 : p ^== 3 , (Hexagonalfigur). 



Setzt man n > 6, also n -= 6 + x, so wird 



12 +2x 

 P = 



4 + x 



Dieser Ausdruck lässt sich auf die Form bringen 



x(p-2) = 4(3 — p). 



Da p > 2 sein muss, so kann dieser Gleichung diu-ch kein Werthe- 

 paar von x und p genügt werden, da, wenn nicht x -= 0, die eine Seite 

 positiv, die andere negativ ist. Man hat hiernach den Satz: 



V. Es giebt im Räume nur drei Arten offener homogener 

 polygonaler Figuren mit endlicher Grösse aller Flächen, nämlich 

 die triagonale, tetragonale und hexagonale Figur. 



Die Beziehungen dieser Figuren zu denen der Ebene (für A = 0) sind 

 evident, ebenso das gegenseitige Entsprechen hinsichtlich der Werthe von 

 p mid n. 



Setzt mau die Bedingung A = in (II) ein, so folgt 



ka = 2(s-s,) + 2p 



oder ^ ~ 



k, k, 2 2p 



Sj s — s, p — 2 ' tp — 2)(s — Sj) 



NoTa Acta XLIV. Nr. 4. 48 



