370 Victor Schlegel, (p. 34) 



Wenn mm k^ und s ins Unendliche wachsen, so ist 



s, p — 2 



Je naclideni die Fig-ur eine triagonale, tetragonale oder hexagonale ist, 



hat p den Werth 6, 4, 3 und — — den Werth Ya, li 2. Man hat also den Satz : 



P ^ 



VI. Das Verhältniss der äusseren Kanten zu den äusseren 

 Flächen einer offenen homogenen polygonalen Figur nähert sich 

 bei Vermehrung ihrer P'lächen ins Unendliche einer Grenze, welche 

 für die triagonale Figur Y2) ^"^i" c^ie tetragonale 1, für die hexa- 

 gonale 2 ist. 



Anm. Dieser Satz gilt selbstverständlicli caucli für die ebenen Figuren. — Die 

 Figuren, welche dem Falle A < entsprechen, können aus der gegenwärtigen Betrachtung 

 desswegen nicht hervorgehen, weil sie weder im Endlichen, noch im Unendlichen ge- 

 schlossen sind. Doch darf ihre Existenz im Räume nicht übersehen werden. Das im 

 Anfange dieses Abschnittes beschriebene Zusammensetzungsverfahren findet auch auf sie 

 Anwendung. 



3) Homogene Bedeckung von Oberflächen. 



Nimmt mau an , dass die Endpunkte einer homogenen polj'gonalen 

 Figur auf einer Fläche \on überall gleichartiger Krümmung (positiv, ver- 

 schwindend oder negativ) liegen und dass auf dieser Fläche zwischen je zwei 

 durch Kanten verbundenen Eckpunkten die kürzesten Linien gezogen sind, so 

 wird die Fläche von n-Ecken bedeckt, von denen je p einen gemeinsamen 

 J]ckpunkt haben. Wir nennen diese Bedeckung einer Fläche durch Polygone 

 eine homogene. Soll die Fläche vollständig von Polygonen bedeckt werden, 

 was wir beständig annehmen werden, so muss sie offenbar mit der gegebenen 

 Figur gleichzeitig geschlossen oder otfen sein. Entsprechend den drei Haupt- 

 arten polygonaler Figuren können wir auch di'ei Arten von Bedeckungen 

 unterscheiden, nämlich Bedeckung von Flächen mit positiver, verschwindender 

 und negativer Krümmung. 



Anm. Als Beispiele wählt man am einfachsten Flächen von überall gleich- 

 artigem Krümmungsmass , z. B. füi- positive Krümmung die Kugel, für verschwindende 

 die Ebene, für negative Rotations -Kegel oder Hyperboloid. Die Bedeckungen solcher 

 Flächen, welche in ihren verschiedenen Thcilen ungleichartige Krümmung besitzen, 

 scheinen keinem allgemeinen Gesetze zu folgen. Einfach zusammenhängende Flächen 

 verhalten sich hinsichtHch ihrer Bedeckung, wenn sie im Endlichen geschlossen sind, 



