Tlieoric der homogen zusammcvciesetzten Rmimgchüde. (p. 35) 371 



wie die KugeWäche, wenn sie im Unendlichen geschlossen sind, wie die Ebene, wenn sie 

 nirgends gesclilossen sind, wie die negativ gekrümmten Flächen. Beispiele liefern zur 

 ersten Art das Ellipsoid, ziu- zweiten die Cyliuderfläche , zur dritten das hyperbolische 

 Paraboloid. — Die zweifach zusammenhängende Fläche, welche durch Rotation einer 

 Kreishnie um eine in ihrer Ebene liegende, sie nicht schneidende Axe entsteht (die man 

 sich aber auch durch Zusammenbiegen einer Cyliuderfläche entstanden denken kann), 

 hat offenbar dieselben Bedeckungen wie Ebene und Cylinder, nur dass sie, als geschlossene 

 Fläche, in eine endliche Anzahl von Theileu zerfällt. 



a. Bedeckung von Flächen mit positiver Krümmung, a > o. 



Die dem Falle A > entsprechenden geschlossenen polygonalen Figuren 

 können offenbar auf eine geschlossene Fläche von überall positiver Krümmung 

 so übertragen werden, dass die ganze Fläche von einer Fignr bedeckt wird. 

 Es folgt daher aus Satz ni, dass eine solche Fläche auf fünf verschiedene 

 Arten vollständig und homogen mit Polygonen bedeckt werden kann. 



Wählen wir als Beispiel die Kugelfläche, so zeigt sich, dass diese 

 Bedeckungen auch direct durch einfache Systeme von Diametralkreisen ent- 

 stehen, wie folgt: 



1) Coustruirt man auf der Kugelfläche drei Paar Gegenpunkte (AAi, 

 BBi, CCj) und legt durch je zwei Paare 



AAi BBi, BBi CCi, CCi AAi 



die drei Diametralkreise, so theileu dieselben die Kugelfläche homogen in 

 acht Dreiecke, geben also die achttheilige triagonale (oktaedrische) 

 Bedeckung. 



2) Coustruirt man auf der Kugelfläche vier Paar Gegenpunkte (AAi, 

 BBi, CCj, DDi) so. dass je zwei Paar auf einem Diametralkreise liegen, also 



AAiBBi, AAiCCi, AAiDDi, 

 BBiCC, CCiDDi, DDiBBi, 



und coustruirt diese sechs Diametralkreise, so theilen die zwischen den 

 Punkten A, B, C, D liegenden kürzesten sechs Bogen (AB, AC, AD, BC, 

 CD, DB) die Kngelfläche homogen in vier Dreiecke, geben also die vier- 

 theilige triagonale (tetraedrische) Bedeckung. 

 Ferner theilen die zwölf Bogen 



Aß,, ACi, ADi; BCi, BDi, BAi, 

 CAi, CBi, CDi; DAx, DB,, DCi 



48* 



