372 Victor Schlegel, (p. 36) 



die Kugelfläche homogen in sechs Vierecke, g'eben also die sechstheilige 



tetragonale (hexaedrische) Bedeckung. 



Anm. Im Falle der tetraedrischeu Bedeckung sind die Punkte Ai Bi Ci Di 

 Schnittpunkte je dreier Transvei'salen der Dreiecke BCD, CDA, DAB, ABC, und gleich- 

 zeitig die Ecken von vier Dreiecken, welche eine zweite tetraedrisclie Bedeckung bilden. 

 — Im Falle der hexaedrischen Bedeckung sind die sechs Schnittpunkte der Diagonalen 

 in den sechs Vierecken die Ecken von acht Dreiecken, welche eine oktaedrische Be- 

 deckung bilden. 



3) Construirt man auf der Kugelfläche sechs Paar Gegenpunkte (AAi, 



BBi, CCi, DDi, KP^i, FFi) so, dass je zwei Paar auf einem Diametralkreise 



liegen, also 



AAiBBi, AAiCCi, AAiDDi, AAi EEi, AAiFFi, 



BBi CCi, BBi DDi, BBi EEi, BBi FF,, CCi DDi, 



CCi EEi, CCi FFi, DDi EEi, DD, FF,, EE, FF,, 



und construirt diese fünfzehn Diametralkreise, so theilen die kürzesten 

 zwischen je vier Punkten eines Diametralkreises liegenden Bogen (im Ganzen 

 dreissig an der Zahl) die Kugelfläche homogen in zwanzig Dreiecke, geben 

 also die zwanzigtheilige triagonale (ikosaedrische) Bedeckung. 



Die Schnittpunkte der drei Transversalen von je fünf an derselben 

 Ecke liegenden Dreiecken sind die Pocken von zwölf Fünfecken, welche die 

 Kugelfläche homogen bedecken, geben also die zwölftheilige pentagonale 

 ( dodekaedrische) Bedeckung. 



Anni. Umgekehrt sind bei der dodekaedrischen Bedeckung die Schnittpunkte 

 der fünf Transversalen von je drei an derselben Ecke liegenden Fünfecken die Ecken 

 von zwanzig Dreiecken, geben also wieder die ikosaedrische Bedeckung. 



Man hat hiernach den Satz: 

 VII. Für eine geschlossene Fläche mit positiver Krümmung 

 giebt es fünf Arten vollständiger homogener Bedeckung, nämlich 

 die tetraedrische, oktaedrische, hexaedrische, ikosaedrische und 

 dodekaedrische. 



b. Bedeckving von Flächen mit verschwindender Krümmung, a = 0. 



Die dem Falle A = entsprechenden offenen polygonalen Figuren 

 geben, wie bereits oben gefunden, eine vollstilndige homogene Bedeckung der 

 Ebene. Solcher Bedeckungen giebt es daher drei. Dieselben können auch 

 durch einfache Svsteme von Geraden entstehen, wie folgt: 



