Hieorie der Jioinogen zusammengesetzten Raumgehüde. (p. 37) 373 



1) Consti-iiirt man auf der P^bene zwei »Systeme von Parallelen mit 

 unendlicher Anzahl, so theilen dieselben die Ebene homogen in Vierecke, 

 geben also die unendliche tetragonale Bedeckung. 



2) Construirt man auf der Ebene drei Systeme äquidistanter Paral- 

 lelen mit unendlicher Anzahl so, dass das dritte System durch die Schnitt- 

 punkte der lieiden ersten geht, so theilen dieselben die Ebene homogen in 

 Dreiecke, geben also die unendliche triagonale Bedeckung. 



Ferner lassen sich diese Dreiecke in r4ruppen von je sechs vereinigen, 

 die um einen Punkt herum liegen und Sechsecke bilden. Hierdurch wird die 

 Ebene homogen in Sechsecke getheilt, wodurch die unendliche hexagonale 

 Bedeckung entsteht. 



Man hat hiernach den Satz: 

 VIII. Für eine Fläche mit verschwindender Krümmung giebt 

 es drei Arten vollständiger homogener Bedeckung, nämlich die 

 unendliche triagonale, tetragonale und hexagonale. 



c. Bedeckung von Flächen mit negativer Krümmung, a < 0. 



Die dem Falle A < entsprechenden offenen poh'gonalen Figuren 

 können auf eine offene Fläche Aon überall negativer Krümmung übertragen 

 werden. Um zu diesem Schlüsse zu gelangen, müssen wir zunächst beachten, 

 dass, wenn eine derartige Figur im Räume (statt in der Ebene) durch 

 Zusammensetzung gebildet wird, die hinzutretenden Polygone nicht nothwendig 

 kleiner zu werden brauchen. Es entsteht also eine offene polygonale Figur 

 mit unendlich vielen Theilen von endlicher Grösse. Dieselbe lässt sich weder 

 auf eine Fläche von positiver noch von verschwindender Krümmung über- 

 tragen , weil die Bedeckungen dieser Flächen sich auf die oben bestimmten 

 Fälle beschränken. Andererseits kann offenbar um diese Figur ebensowohl 

 wie um die früheren eine Fläche beschrieben werden. Dieselbe kann also 

 nur eine negativ gekrümmte sein. Wir haben hiernach den Satz: 



IX. Für eine Fläche mit negativer Krümmung giebt es un- 

 endlich viele Arten vollständiger homogener Bedeckung, nämlich 

 alle diejenigen, welche bei Flächen mit positiver und verschwinden- 

 der Krümmung nicht vorkommen. 



