374 Victor Schlegel, (p. 38) 



4) Gegenseitige Abbildungen der Bedeckung einer Fläche 



auf einer anderen. 



Die Bedeckungen der Flächen , wie wir sie im Vorstehenden kennen 

 lernten, zeigen die wesentliche Eigenthümlichkeit, dass jede Fläche vollständig 

 mit Polygonen von endlicher Grösse bedeckt werden kann. Anders aus- 

 gedrückt: Jede Fläche hat gerade den nothwendigen und hinreichenden Inhalt 

 für die Bedeckung durch gewisse Polygone von endlicher Grösse. Dieser 

 Inhalt lässt sich vergi'ossern durch Expansion und verkleinern durch Contraction 

 der Fläche. Erstere findet statt, wenn die Krümmung der Fläche abnimmt, 

 letztere, wenn sie zunimmt. (Ein bequemes Beispiel für diesen Zusammenhang 

 bietet die Kugelfläche.) Abnahme der Krümmung einer Fläche ist also gleich- 

 bedeutend mit Inhaltsgewinn, Zunahme mit Inhaltsverlust. — Versucht man 

 nun, die vollständige Bedeckung einer Fläche auf einer Fläche mit geringerer 

 Krümmung durch Znsammensetzung nachzubilden, resp. abzubilden, i) so er- 

 giebt sich ein Ueberschuss an Inhalt, welcher l)ewirkt, dass die Grösse der 

 hinzutretenden Polygone ins Unendliche zunimmt. Dieser Fall wird eintreten, 

 wenn die Bedeckung einer positiv gekrümmten Fläche auf einer Ebene und 

 wenn die Bedeckung einer Ebene auf einer negativ gekrümmten Fläche ab- 

 gebildet wird. Versucht man umgekehrt, die vollständige Bedeckung einer 

 Fläche auf einer Fläche mit grösserer Krümmung durch Zusammensetzung 

 nachzubilden, resp. abzubilden, so ergiebt sich ein Mangel an Inhalt, welcher 

 bewirkt, dass die Grösse der hinzuti'etenden Polj'gone ins Unendliche abnimmt. 

 Dieser Fall wird eintreten, wenn die Bedeckung einer negativ gekrümmten 

 Fläche auf einer Ebene, oder w^enn die Bedeckung einer Ebene auf einer 

 positiv gekrümmten Fläche abgebildet wird. Wir betrachten im Folgenden 

 diese vier Fälle im Einzelnen. 



a. Bedeckung einer positiv gekrümmten Fläche, abgebildet auf 



einer Ebene. 



Wenn man aus der vollständigen Bedeckung einer positiv gekrümmten 

 Fläche eine Fläche oder eine Kante mit den beiden benachbarten, oder eine 



^) Hierbei lassen wir nur die drei allgemeinen Krümmmigsuutcrsoliiede -\-, 0, — zu. 



