TJieorie der homogen zusanmmigesetzten Baumgehildc. (p. 39) 375 



Ecke mit den p in ilir zusamraenstossenden Flächen weglässt und den Rest 

 durch Dehnung (Expansion) auf einer Ebene ausbreitet, so entsteht eine Ab- 

 bildung, welche oben (p. 9) als Netz des der polygonalen Figur entsprechenden 

 Polyeders bezeichnet wurde. Im ersten Falle wird die fehlende Fläche durch 

 die unendliche, das Netz umgebende Ebene vertreten, in den beiden letzten 

 kann man die 2, resp. p fehlenden Kanten durch Geraden ersetzen, welche 

 an das Netz angetragen werden. Dieselben theilen die unendliche P^bene in 

 2, resp. p unendliche Theile, welche die der Abbildung fehlenden Flächen 

 verti-eten. Es geht hieraus hervor, dass in der That, wie oben gefunden, die 

 Randflächen der Abl»ildung unendlich gross werden. (S. hierzu die Figuren 

 auf Taf. i , vso die punktirten Linien wegzudenken und die hierdurch frei 

 werdenden Strecken in symmetrische Richtung zur Figur zu drehen sind.) 



Aiim. Lückenhafte polygonale BecUckimy einer Ebene. — Der Raum-Ueber- 

 schuss der Ebene bei der Bedeckung durch die der Kugelfläclie angehöi'igen polygonalen 

 Figuren kann auch dadurch zur Evidens gebracht werden, dass man, unter Festhaltung 

 der Bedingung, dass in jeder Ecke nur p Flächen zusammenstossen sollen, die ganze 

 Ebene mit den endlichen Theilen der oben erwähnten Netze bedeckt, wobei regelmässige 

 Lücken entstellen. Für diese Zusammensetzung eignen sich jedoch nur diejenigen Netz- 

 Figuren, deren Umfang ein Polygon von der Seitenzahl 3, 4 oder ü ist, oder in ein 

 solches Polygon in symmetrischer Weise sich einschreiben lässt, weil eine derartige Be- 

 deckung der Ebene sich umgekehrt nur aus der triagonalen, tetragonalen oder hexa- 

 gonalen Bedeckung durch regelmässige Einfügung von Lücken ableiten lässt. Hängen 

 die einzelnen Netz-Figuren nur durch eine Ecke zusammen, so darf die Zahl der in einer 

 solchen Ecke zusammentreffenden Flächen jeder einzelnen F'igur niu' gleich — sein, wo 

 pi = 3, 4, 6 ist, je nach dem triagonalen, tetragonalen oder hexagonalen Cliarakter der 

 Bedeckung. Hängen die einzelnen Netz-Figuren durch eine Kante zusammen, so dürfen 

 an jedem Endpunkte dieser Kante in jeder einzelnen Figur nur ~ Flächen zusammen- 

 stossen. — Bei Benutzung regelmässiger Figuren entstehen regelmässige Muster, die sich mit 

 Vortheil als Grundrisse zur Eintheilung des Raumes beim Musterzeichnen verwenden lassen. 



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b. Bedeckung einer Ebene, abgebildet auf einer positiv 

 gekrümmten Fläche. 



Es mag genügen, den Charakter dieser Abbildungen an dem bekannten 

 Beispiele der tetragonalen Bedeckung der Kugelfläche darzuthun. Das System 

 der Meridiane zusammen mit demjenigen der Parallelkreise auf der Kugel ist 

 die Abbildung der tetragonalen Bedeckung einer Ebene. Soll die Bedeckung 

 luu- aus Vierecken bestehen, so ist es nöthig, von den an den beiden Polen 



