Theorie der Jionwr/eri gKSommenfjcseMen Eamin/ehiJde. (p. 43) 379 



Zweidiineiisioiialc Inhaltsbestimmung. (Fläclienmessung-.) 



1. Hessnng anf der £beue (Ma"). 



Die Ebene gestattet drei verschiedene yVrten vollständiger homogener 

 Bedeckung, die triagonale, tetragonale und hexagonale. Als Maasseinheit 

 (Flächeneinheit) kann daher das gleichseitige Dreieck, das Quadrat und 

 das regelmässige Sechseck angenommen werden. In allen drei Fällen wird 

 die Beziehung der Flächeneinheit zur Längeneinheit dadurch hergestellt, dass 

 als Flächeneinheit diejenige Figur gilt, deren Seite die Längeneinheit ist. 



Im Gebiete der Geraden gab es nur eine Art begrenzter Gebilde, die 

 Strecken. Diese Hessen sich direct messen. Im Gebiet der Ebene giebt es 

 mannigfache Figuren. Unter ihnen sind diejenigen zu Ijestimmen, welche sich 

 direct messen lassen. Dies sind 1. alle der Maasseinheit ähnlichen Figuren, 

 2. diejenigen, in welche eine solche Figur durch Ziehen von den Parallelen 

 zu den Seiten zerfällt (oder diejenigen, welche sich aus der vollständigen 

 Bedeckung der Ebene ausschneiden lassen). Im Einzelnen beti'achten wir nun 



a. Die Messiiiia,' diircli das (|ua(lrat (Quadraiinulation).!) 



1) Das Quadrat. Theilt man zwei anstossende Seiten eines beliebigen 

 Quadrates in a gleiche Theile uiui zieht durch die Theilpunkte jeder Seite 

 Parallelen zu der anderen Seite, so zerfällt das Quadrat homogen in a- con- 

 gruente Quadrate. Betrachtet man eins derselben als Flächeneinheit, so ist 

 der Inhalt des ganzen Quadi'ates durch die Zahl a^ ausgedrückt. 



2) Das Rechteck (Parallelogramm mit Quadratwinkeln). Eine belie- 

 bige jener Parallelen theilt das Quadrat in zwei Rechtecke. Wenn zu beiden 

 Seiten dieser Parallele auf den Parallelen des anderen Systems b, resp. a — b 

 gleiche Strecken liegen, so zerfällt das eine Rechteck in ab, das andere in 

 a (a — b) Flächeneinheiten. Demnach ist der Inhalt desjenigen, in welchem 

 zwei anstossende Seiten die Längen a und b haben, durch ah ausgedrückt. 



Da das Quadrat sowohl wie das Rechteck durch Ziehen von Parallelen 

 zu den Seiten in keine anderen Figuren, als wieder Rechtecke oder Quadrate, 



1) Des Zusammeulianges wegeu dürfen die bekannten Thatsachen dieses Absclmittes 

 nicht übergangen -werden. Statt Quadrangnlation sagt man gewöhnlich Quadratur. 



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