Tlieorie der hoiiiopei/ zusammengesetzten Raumgehihle. (p. 45) 381 



3) Das Parallelogramm mit Winkeln des gleichseitigen 

 Dreiecks. Wenn eine Seite eines beliebigen gleichseitigen Dreiecks in die 

 Stücke a und b getheilt ist, und durch den Tlieilpunkt Parallelen zu den 

 beiden anderen Seiten gezogen sind, so zerfallt das Dreieck in zwei gleich- 

 seitige Dreiecke mit den Seiten a und b, und in ein Parallelogramm (mit 

 spitzen Winkeln von 60", in welchem zwei anstosseude Seiten a und b sind). 

 Da die Seite des ganzen Dreiecks a + b ist, so ist die Fläche des Parallelo- 

 gramms gleich (a-f b)- — a- — b'- - 2ab. Man hat also den Satz: 



Die P"'läche eines Parallelogramms mit spitzen Winkeln von 

 600 ist gleich dem doppelten Producte zweier anstossenden Seiten. 



Vergleicht man die Grundformeln der Triangulation mit denen der 

 Quadrangulation, so zeigt sich, dass die ersteren aus den letzteren durch 

 Multiplication mit 2 hervorgehen, und dass ausserdem die Höhe (h) der Fi- 

 guren durch die Strecke . — oder -^ h Vs zu ersetzen ist. 



sm 60" 3 



Da die der Quadrangulation entsprechende cyklische Einheit den Werth 

 "''^ hatte, so wird die der Triangulation entsprechende cyklische Eiidieit 



gleich -^ oder -^ zu setzen sein, je nachdem man den Centriwinkel oder 



a b 



den Winkel des gleichseitigen Dreiecks mit dem Centriwinkel der cyklischen 

 Feinheit in Uebereiustimmung bringen will. 



Die Inhalte aller übrigen Figuren köimcn nunmehr durch indirecte 

 ^Messung bestimmt werden. 



e. Die Messuii»' <hircli das re»'Hliire Sechseck (Ilevaiig'iihUion). 



1) Das reguläre Sechseck. Theilt man vier aufeinanderfolgende 

 Seiten eines beliebigen regulären Sechsecks in a gleiche Theile, und zieht 

 durch die Theilpunkte je zweier anstossenden Seiten Parallelen zu der auf sie 

 folgenden Seite, so zerfallt das Sechseck homogen in gleichseitige Dreiecke. 

 Diese lassen sich zu je sechs zu regulären Sechsecken vereinigen, wobei an 

 den Rändern einzelne Dreiecke, oder an den Ecken Paare \o\\ Dreiecken 

 übrig bleiben, deren Summe aber wieder durch 6 theilbar ist, so dass man 

 sich auch alle diese Dreiecke zu Sechsecken vereinigt denken kann. 



