Tlieorie der homogen zusammengesetzten Raumgebilde, (p. 51) 887 



Nun ist für das hinzugetretene Polyeder 



e-j-s -k = 2, 



und für die polygonale Figur, welcLe diesem und dem gegebenen Körper ge- 

 meinsam ist (nach Formel (1) im ersten Abschnitt) 



ei + si — kl = 1 . 



Diese Formel, von der oberen subtrahirt, giebt 



(e — ei) + (s — Si ) — (k — kl ) = 1 . 



Es hat also der Ausdruck (c) oder (b) ebenso wie (a) den Werth 1, 

 und man hat den Satz: 



I. In jedem polyedrischen Körper ist die Zahl der Ecken 

 und Flächen zusammen um 1 grösser als die Zahl der Kanten und 

 Körper.i) 



Äeussere und innere Gebilde. — Wir bezeichnen eine Ecke, Kante 

 oder Seitenfläche des homogenen polyedrischen Körpers als äussere oder 



1) Dieser Satz ist von Cauohy gegeben in seinen Eecherclies sur les jjolycdres 2. partie. 

 Journal de l'e'cole polyt. cah. 16, t. IX. Paris 1813, p. 76. 



Das Aualogou des Eul er 'sehen Satzes in einer Mi" ist hiernach durch die Formel 

 ausgedrückt 



E + S— K C =^ 0. 



Wenn niimlicli bei einem von C Körpern begrenzten Gebilde in der Mi " ein Körper 

 weggelassen wird, so lässt sich der Kest des Begrenzungsgebildes ohne weitei'e Veränderung in 

 Zahl der Seiten, Ecken und Flächen in den euklidischen Eaum bringen und bildet dort einen 

 polyedrischen Körper, für welchen, da C — 1 an die Stelle von C tritt, wieder Formel (1) 

 gilt. So liisst sich auch ein Polygon, nach Wegnahme einer Seite, auf die Gerade strecken, 

 und giebt dort die Formel e — k =; 1 . 



Excurs über den Eider' sehen Folyedersatz in der J^,". — Wir bemerken, dass dieser 

 Satz folgende Formen annimmt: 



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