388 Victor Schlegel, (p. 52) 



innere, je nachdem sie der polygonalen Aussenfläche angehört oder nicht. 

 Ein Körper heisst innerer, wenn keine seiner Ecken, Kanten und Seiten 

 der polygonalen Aussenfläche angehört, sonst äusserer. Es sei ferner die 

 Zahl der inneren Gebilde durch den Index 1, die der äusseren durch den 

 Index 2 von der Gesammtzahl unterschieden; dann hat man zunächst die 

 Gleichungen 



(2) Ei+ E2 ^ E ; Kl + K, = K ; ^1+82=8; Ci+ C, = C . 



Ferner ist nach dem Euler'schen Satze 



(3) E2+S2-K2=.2. 



Es sei ferner die Seitenzahl jedes einzelnen Polyeders mit N, und die 

 Zahl der in jeder Innenecke zusammentreffenden Körper mit P bezeichnet. 



Nach der in der I^inleitung getroffenen Bestimmung sollen die Theile 

 eines homogenen (iebildes selbst wieder homogene Gebilde sein. Hiernach 

 kommen bei der Zusammensetzung homogener polyedrischer Körper nur die 

 fihif im Satze III des ersten Abschnitts erwähnten Körper in Betracht, und 

 es folgt, wenn die kleinen Buchstaben ihre frühere Bedeutung Ijchalten, aus 

 den Formeln (16) und (15) daselbst: 



/ 1^ -VT -ij! 1 2 np 4 11 , -I / , ^ 



Man kann hiernach durch einfachen Analogieschluss den Satz aussprechen : 



II. Bezeichnet man durch Ar die Anzahl einfacher (ebener) be- 

 grenzter Gebilde von r Dimensionen, welche ein Gebilde von n Dimensionen 

 in sich enthält, so ist 1) für ein offenes Gebilde von n Dimensionen 



a^) — ai 4- a-j — . . + a^ = 1 , 



2) für ein geschlossenes Gebilde von n Dimensionen, welches einen Theil 

 der Mn _i_ i begrenzt, 



ao — ai -|- a.. - . . . + a^ = 1 -|- i, — 1 1". 



Denn der Uebergang von einem geschlossenen Gebilde von n Dimensionen zu einem 

 offenen erfolgt durch Wegnahme eines Theilgebildes von n Dimensionen. Hierdurch geht in 

 der zweiten Fonnel an in au — 1 über, während ihre rechte Seite den AVerth 1 erhält. Je 

 nachdem nun die zweite Formel die Gestalt 



A -|- a,, = X oder A — a,, ^ x 

 hat, geht sie über in 



A + (a„ — 1) ^ X 1 ^ 1 , oder A — (a„ — 1) = x + 1 = 1 , 

 worau.s mau resp. 



X =; 2 , oder x = ( ) 

 erhält. 



