Theorie der homogen zusammengcsetsten Ramngehüde. (p. 53) 3S9 



Soll auch die Aussenfläclie des homogenen pol3'edrischen Körpers eine 

 homogene polygonale Figur sein, bei welcher pi Flächen in jedem Pxkpunkte 

 zusammentreifen , so ist, weil dieselbe K2 Kanten, E2 Ecken und S2 Flächen 

 (n-Pxke) besitzt, 



,4a) 82=^; K2=^; £2==-; A. = 2(n + pO-np,, 



woraus nocii l'olgt: 



11 So =^ 2K2 == piEi. 



Au 111. Dil es keine anderen als homogene Polygone giebt, so ist die ent- 

 sprechende Bedingung, dass die Randtigur einer homogenen polygonalen Figur ein lionio- 

 genes Polygon sein soll, stets von selbst erfüllt. 



Wir nennen den polyedrischen Körper in diesem Falle vollständig. 

 Ist ausserdem noch (4b) pi = p, so ist der Gesammtkörper von gleicher 

 Besehad'enheit mit seinen Theilen, und soll regelmässig genannt werden. 



Ann). Ist der Gesammtkörper Ijeispielsweise homogen aus Tetraedern zusammen- 

 gesetzt, so wird nach der allgemeinsten Bedingung yi) seine Aussentiäche keiner anderen 

 Beschränkung unterliegen, als dass sie aus Dreiecken besteht. Nach der Bedingung (4a) 

 niuss der Gesammtkörper selbst ein homogener Körper sein, also entweder Tetraeder, 

 Oktaeder oder Ikosaeder. Nach der Bedingung (4b) endlich darf er nur ein Tetraeder sein. 



Wir nehmen ferner an, es sei die Zahl der 



' welche eine Aussenecke liefern. 

 „ „ Aussenkante „ 



Dann werden 



(C2 — C3 — C4) Aussenkörper eine oder mehrere Aussenflächen liefern, 



(Si — S3 — S4) Innenflächen, und 



(Kl — K3) Innenkanten ganz im Innern des Körpers liegen und nichts 

 mit seiner Aussenfläclie gemeinsam haben. 



Wir bestimmen nun zuerst die Zahl der in jeder inneren Ecke, Kante 

 und Fläche zusammentreffenden G-ebilde. 



In jeder inneren Ecke treffen zusammen P Körper (nach Deflni- 

 tion). Jeder dieser Körper liefert zu der Ecke p Kanten. Dies giebt Pp 

 Kanten. Wenn nun jede Kante zu x Körpern gehört, so gehen von jeder 

 Innenecke ? Kanten aus, von allen I], Innenecken also -i-£- Kanten. Hier- 

 bei sind die ganz im Innern liegenden (Kj — K3) Kanten doppelt gezählt, also 



