390 Victor Schlegel, (p. 54) 



einmal in Abzug zu bringen. Es beträgt hiernach die Zahl aller aus den 



El Innenecken gehenden Kanten '^ P — (Kj — K3). Da dies aber offenbar 



siUnmtliche Innenkanten sind, so ist 



T E, pP ,,, T- \ j E, pP 



Kl = -^ (Iv, - K3), oder x = ^j^'lj. • 



Setzt man diesen Werth in den obigen Ausdruck ^ ein, so tindet 



X 



sich, dass in jeder inneren Ecke ^ Kanten zusammentreffen. 



Endlich liefert jeder der P Körper zu einer inneren Elcke p Flächen. Dies 

 giebt pP Flächen. Da aber jede Fläche gleichzeitig zwei Körpern angehört, 

 so folgt, dass in jeder inneren Ecke ^ Flächen zusammentreffen. 



In ieder inneren Kante ti'effen — ^/ P ^^ Körper zusammen (wie 

 •' 2 Kl — Ks *^ ^ 



oben gefunden) und ebenso viele Flächen. Denn gesetzt, die Kante ge- 

 höre zu X Körpern und y Flächen. Da jeder Körper zwei Flächen zur Kante 

 liefert, so wäre hiernach y -= 2x. Da aber je zwei Flächen der beiden 

 Körper in eine zusammenfallen, so ist y ^ -^ = x. 



In jeder inneren Fläche endlich treffen zwei Körper zusammen. 



Nach diesen vorbereitenden Festsetzungen und Untersuchungen beginnen 

 Avir nun, analog mit Abschnitt I, mit der Aufstellung von Formeln zwischen 

 den Zahlen der verschiedenen Gebilde. 



a) Jedes der C Polyeder liefert zu dem polyedrischen Körper N 

 Flächen. Da aber hierbei jede der Si inneren Flächen doppelt gezählt ist, 

 so ist die Gesammtzahl der Flächen 



(5) S =- CN-Si. 



b) Jede der S Flächen liefert zu dem polyedrischen Körper n Kanten. 

 Hiernach wäre die Anzahl sämmtlicher Kanten Sn. Nun gehört jede Innen- 

 kante zu — ^' P = X Flächen, ist also x-fach gezählt; mithin ist Ki(x — 1) 



2 Kl — K3 



in Abzug zu bringen. Ferner gehört jede Aussenkaiite zu zwei Flächen, ist 

 also doppelt gezählt, daher ist Kg einmal zu subtrahiren. Endlich giebt es 

 S4 Innenflächen, die je eine Kante zur äusseren Begrenzung liefern. Daher 



