392 Victor Schlegel, (p. 56) 



Setzt man die Wertbe von Kg und S4 aus (7a) und (Sa) in (6) ein 

 und ausserdem Epi = 0, so erhält man 



(6a) 2 S n = E p P . 



Durch die zur Ableitung der Formeln (6a), (Ta), (8a) geti-offeneu Be- 

 stimmungen wird die oben gege))ene Definition des vollständigen Körpers ver- 

 vollständigt. 



c) Jede der K Kanten liefert zu dem polyedi-ischen Körper 2 Ecken. 

 Dies würde 2K Ecken geben. Nun gehen von jeder Innenecke — 5_ — l = J^ 



fjl X 



Kanten aus, es ist also jede Innenecke -?-fach gezahlt, also Ej j |' — Ij zu 



subtrahiren. Ferner ist tur die K3 Innenkanten, die nach Aussenecken gehen, 

 noch K3 zu subtrahiren, weil jede dieser Aussenecken einmal zu viel gezählt 

 ist. Was endlich die Aussenkanten betriift, so sind drei Fälle zu unterscheiden. 

 Es giebt 1) Aussenecken, welche nur einem einzigen Körper angehören, nach 

 denen also keine Innenkante und keine Innenfläche führt. Ist Eqo die Zahl 

 dieser Ecken, so sind dieselben, weil in jeder ^■on ihnen p Kanten zusammen- 

 treffen, p-fach gezählt, daher ist Eqo (p — 1) zu subtrahiren. Es giebt 2) 

 Aussenecken, die zwei Körpern angehören, nach denen also keine Innenkante, 

 wohl aber eine Innenfläche führt. Ist Eqi die Zahl dieser Ecken, so sind 

 dieselben, weil in jeder von ihnen 2p — 2 Kanten zusammentreffen, (2p — 2)- 

 fach gezählt, also ist Eqi (2p — 3) zu subtrahiren. Nehmen wir an, dass 3) 

 in jeder der noch übrigen (E., — Eqo — Eqi) Aussenecken pi Aussenkörper 

 zusammentreffen, so ist noch (E2 — Koo — Kd ) (pi — 1) zu subti-ahiren, und 

 man erhält im Ganzen: 



El [?^^ ~ ~ ■''■'" ^""^P " ^ ^ ~ ^"^'^ P - 3) - 

 — (E2— Eoo— Eoi)(pi— 1) 



(8) P1E2 = 2K2-l-Eoo(pi— p)-|-Eo,[pi-2(p- 1)]. 



Im Falle des vollständigen Körpers gehört jede Aussenecke zu pi 

 Aussenkanten, ist also pi-fach gezählt, daher ist nurE;2(pi — 1) zu subtrahiren. 

 Es ist dann die Zahl siimmtlicher Ecken: 



E = 2 K - E. ( ^\~^- - l) - K3- EhPi - 1) , 



