Theorie der homogen susammenrfesetzten Ramngehüde. (p. 57) 393 

 woraus man mit Benutzung' von (2) die schon bekannte Formel (4a) 



erhält. 



d) Jedes der C Poh'eder liefert zu dem polyedrischen Körper k 



Kanten. Hiernach wäre die Zahl aller Kanten Ck. Da jede Innenkante 



zu — / ^ = X Körpern g-ehört, also x-fach gezählt ist, so ist Ki (x — 1) 



2 Kl — Kg 



zu subtrahiren. Dann sind alle Aussenkanten, die zwei benachbarten, an 

 Aussenflächen liegenden Körpern angehören, doppelt gezählt. Ist Eqo (wie 

 oben) die Zahl derjenigen Aussenecken, welche weder einer Innenkante noch 

 einer Innentliiche, also nur einem Körper angehören, so ist die Anzahl jener 

 Aussenkanten offenbar Ko — p Koo- Demnach ist K2 ~pKoo zu subtrahiren. 

 Da endlich noch C4 Körper nur je eine Kante zur Aussenfläche liefern, so 

 sind noch C4 Aussenkanten zu viel gezählt. Demnach ist die Anzahl aller 

 Kanten 



K = C k - Kl [al-!^^; - 1] - (K, - p Eoo) - C4. 



Mit Rücksicht auf (2) erhält mau hieraus: 



(9) Ck==|^^ + 2K2-pEoo+C4. 



Im vollständigen Körper kann unter Festhaltung der obigen Be- 

 stimmungen kein Aussenkörper mehr als eine Ausseniiäche liefern. Demnach 

 ist 1^00 = 0- I^^ ferner an jeder Aussenecke ebensoviele Kanten wie an einer 

 Tnnenecke, und an jeder Aussenkante ebensoviele Flächen wie an einer Innen- 

 kante zusammentreffen, so sind die äusseren Gebilde ganz ebenso beschaffen 

 wie die inneren, und gehen in dieselben über, wenn man den, den Gesammt- 

 körper umgeljenden Raum ebenfalls als Theilkörper ansieht. Alsdann liegen 

 also an jeder Aussenkante ebensoviele Körper wie an einer Innenkante, 



nämlich ^ ^^^ P ^, =- x, oder, wenn man den umgebenden Raum wieder 

 2 Kl — Ks ° 



abrechnet, (x — 1). Gehen wir auf die Bildung der Formel (9) zurück, so ist 

 jetzt für alle Aussenkanten nur K2 (x — 1 — 1) = Kj (x — 2) zu subtrahiren, 

 statt wie oben (K2 — pFoo) + C4. Da aber beide Operationen, wenn man 

 im letzten Ausdrucke Eoo = setzt, dasselbe Resultat geben müssen, so ist 



C^+K.= K.[,-|^-2] 



Nova Acta XLIV. Nr. 4. 51 



