Theorie der homogen susammengesetzten Ramngehüde. (p. 59) 395 



Flächen überhaupt. Da ferner die Aussenecken sich (wie unter d) gefunden) 

 ebenso verhalten, wie die Innenecken, so werden auch an jeder Aussenecke 

 ebensoviele Flächen zusammentreffen, wie an jeder Innenecke, nämlich ?-, 

 Man hat also die Gleichuna: 



■& 



S« + 2S _ pP 



""K 1- Pi — ^ ■ 



Setzt man hier den Werth von S4 aus (8a), und aus (4a) P^a Pi = 2 K2 



ein, so folgt: 



(12a) S3 = 4^-^^Jf^+2K.. 



Setzt man endlicli den Werth vou S3 + 2 S4 in (11) ein, und ausser- 

 dem, wie oben bemerkt, Eqi = 0, so findet sich, wenn man E2 Pi = n S2 



substituirt: „ ^ t, 



•2iiS = EpP. 



worin wir wieder die Formel (6a) erkennen. 



f) Jedes der C Polyeder liefert zu dem polyedrischen Körper e Ecken. 

 Dies würde im Ganzen Ce Ecken geben. Nun ist aber jede der Ej inneren 

 Ecken, weil sie P Polyedern angehört, P-fach gezählt, daher ist P^i (P — 1) in 

 Abzug zu bringen. Von den Aussenecken sind diejenigen (Eoo ^'i der Zahl) 

 einfach gezählt, die nur einem Körper angehören, diejenigen (Eqi an der Zahl) 

 doppelt, die zwei Körpern angehören; daher ist Ed zu subtrahiren. Endlich 

 sind die übrigen (E2 — Eqo — Epj) pi-fach gezählt, weil sie pi benachbarten 

 (um eine Aussenecke herumliegenden) an Aussenflächen liegenden Körpern 

 angehören. Demnach ist weiter (Ej — Eqo — Eoi) (pi — 1) zu subtrahiren. 

 Ausserdem sind, da C4 Körper nur eine Kante zur Aussenfläche liefern, 2 C4 

 xVussenecken zu viel gezählt, und da C3 Aussenkörper nur eine Ecke zur 

 Aussenfläche liefern, so sind noch C3 Aussenflächen zu viel gezählt. Im 

 Ganzen ist hiernach 



E = Ce-Ei(P— 1)-Eoi-(E,-Eoo-Eoi)(pi— 1) — 2C4-C3, 

 oder 



Ce = EjP-|-E,pi+2C4+C3-Eoi(pi-2)-Eoo(pi- 1), 



oder mit Benutzung von (8) 



(13) Ce = E1P + 2K2+2C4+C3— Eoo(p— l)-2Eoi(p — 2j. 



Im vollständigen Körper ist p]oo = Koi =0. Da ferner, wenn wir 

 den umgebenden Raum als Körper mitrechnen, an jeder Aussenecke ebenso 



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