396 Victor Schlegel, (p. 60) 



viele Körper liegen, als an jeder Innenecke, nämlich P, oder, wenn wir diesen 

 Raum wieder weglassen, (P — 1), so ist in diesem Falle jede Aussenecke (P — 1)- 

 mal gezälüt, also im Ganzen für alle Aussenecken Eg (P — I — 1) = E2(P — 2) 

 zu subtrahiren, statt wie oben Eqi +(£3 — Eqo — EoJ (pj- — 1) + 2C4 + C3. 

 Da aber beide Operationen, wenn man im letzten Ausdrucke Kqq = Eqi = 

 setzt, dasselbe Resultat geben müssen, so ist 



E2(pi-1) + 2C4+C3 -= E2(P — 2), 



oder, wenn man Egpj durch 2X9, und C4 durch seinen Werth (10a) ersetzt: 



(14a) C3 = Es fP - l) + 4 K2- — ^ ■ 



Setzt man nun diesen Werth in (13) ein, ausserdem, wie oben be- 

 merkt, £100 = Eoi = 0, und den Werth von C4 aus (10a), so folgt: 



(13a) Ce =. EP — E2. 



Anm. Die für vollständige Körijer geltenden specielleu Formeln (6a), (9a). 

 (13a) kann man auch dii-ect durch folgende Betrachtungen finden. 1) Da jede der 

 S Flächen n Ecken hat, so beträgt die Zahl aller Ecken nS. Da aber jede Ecke zu 



— ^ Flächen gehört, so reduchi sich die Zalil auf E = n S : 2— , woraus 2 n S =^ p P E 



folgt. — 2) Wenn in jeder der Ki Innenkanten ~ Körper zusammenti-effeu, so giebt dies 



— 1^ Körper. Wenn in jeder der K2 Aussenkanten -fr — ' Körper zusammentreffen, 

 ^ ^nS K 



so giebt dies l^p 1) K2 Körper. Da aber immer k Kanten zu einem Körper gehören, 



so ist C = I „ ' + -^— — K2 :k, woraus Ck = nS — K2 folgt. — 3) Wenn in 



jeder der Ei Innenecken P Körper zusanimentreften, so giebt dies P Ei Körper. Wenn in 

 jeder der Es Aussenecken P — 1 Körper zusammentrefl'en, so giebt dies (P — 1) E2 Körper. 

 Da aber immer e Ecken zu einem Köi-per gehören, so ist C = [PEi+(P — l)E2] : e, 

 woraus C e ^ P E — E2 folgt. 



Recapittdatio')!. — Die durch die Untersuchungen in a)— f) gefundenen 

 Formeln können wir in drei Gruppen theilen: 



1) Formeln, welche für alle homogenen polyedriscben 

 Körper gelten:^) 



^) Allerdings ist angenommen, dass in den E2 — Eoo — Eqi Aussenecken, nach welchen 

 Innenkanten laufen, gleich viele Aussenkörper zusammentreffen. Sollte dies aber nicht der 

 Fall sein, so braucht man diese Ecken nur in Gruppen zu zerlegen, deren jede gleichviele 

 Aussenkörper enthält, und die Subtraction in der Ableitung der Foi-mel fiir jede Gruppe ge- 

 sondert auszufuhren. 



