402 Victor Schleg-el. (p. 66) 



Dieser CTleichung genügen nur die Werthe 



X = 3 , 4 , 5 

 P= 4, 8, 20. 



2) für p = 4, x<4, P = 4^- 



Dieser Gleichung genügt nur der Werth 



X = 3 

 P = 6. 



3) für p :::= 5 , X < -r^ , P = 



Dieser Gleichung genügt nur der Werth 



X = 3 

 P = 12. 



Hieraus folgt der Satz: 

 III. Für tetraedrische, hexaedrische und dodekaedrische 

 Körper (p = 3) giebt es je drei Zusammensetzungsweisen, indem 

 um einen P^ckpunkt herum 4, 8 oder 20 Körper lag'ern können. 

 Für octaedrische (p = 4) und ikosaedrische Körper (p = 5) giebt 

 es nur je eine Zusammensetzungsweise, indem um einen Eckpunkt 

 herum im ersten Falle 6, im zweiten 12 Körper lagern können. 



Dasselbe Resultat findet sich auch durch folgende geometrische Ueber- 

 legung: Da ein homogenes Polyeder sich aus einem Punkte im Innern in so 

 viele Pyramiden zerlegen lässt, als seine Seitenzahl beträgt, so können um 

 einen Punkt des Raumes herum nur so viele Körper homogen lagern, als die 

 Seitenzahl eines homogenen Polyeders beträgt. 



Was endlich die Grösse C betriift, so ist zwar diu'ch die bisherigen 

 Betrachtiuigen eine obere Grenze für dieselbe nicht ermittelt worden. Indessen 

 kann man zeigen, dass für gegebene Werthe von n und p zu jedem Werthe 

 von P nur ein Werth von C gehören kann. Sucht man nämlich die regel- 

 mässigen polyedrischen Körper diu'ch Zusammensetzung von innen nach aussen 

 zu bilden, so wird diese Zusammensetzung, da sowohl P wie die Gestalt der 

 Einzelkörper bestimmt ist, nur auf zwei Arten ausgeführt werden können, 

 nämlich dadurch, dass man von einem Punkt oder von einem Körper ausgeht. 

 In jedem dieser Fälle ist die Zusammensetzung eindeutig bestimmt, und das 

 Verfahi-en ist beendet, sobald man den ersten regelmässigen, resp. vollständigen 



