Theorie der homogen zusammengesetzten Baumgehüde. (p. 67) 403 



Körper erhalten hat, weil die Hiuzufiigniig neuer Körper an die Aiissenflächen 

 nicht mehr mit dem gegebenen Werthe von P vereinbar wäre. Dass nun 

 von diesen beiden Bildungsweisen nur eine den regelmässigen Körper geben 

 kann, ist leicht zu sehen, da, wenn man als Mittelgebilde eines fertigen regel- 

 mässigen Körpers statt eines Körpers einen seiner Eckpunkte, oder umgekehrt, 

 ansieht, auch die Aussenfläche eine Aenderung erleiden muss, damit die sym- 

 metrische Lage aller Gebilde zu dem neuen Mittelgebilde erhalten bleibe. 



p]s giebt hiernach im Ganzen elf verschiedene Arten homogener 

 polyedrischer Körper, nämlich drei tetraedrische, drei hexaedrische, drei dode- 

 kaedrische, einen oktaedrischen und einen ikosaedrischen. 



Obwohl nun eine Eintheilung dieser Gebilde auf Grund einer mit A 

 analogen Function nicht möglich ist, weil diese Function, wie oben bemerkt, 

 sich identisch annullirt, so zeigt doch eine Betrachtung, analog der auf p. 26 

 angestellten, dass diese elf Gebilde in drei verschiedene Gruppen zerfallen. 

 Versucht man nämlich, congruente reguläre Polyeder um einen Punkt herum 

 zu gruppii'en, so findet sich, dass 



4, 8, 20 Tetraeder, 6 Oktaeder, 4 Hexaeder, 4 Dodekaeder 

 diesen Raum nicht vollständig erfüllen, dass ferner 



8 Hexaeder 

 diesen Raum genau ausfüllen, dass endlich 



12 Ikosaeder, 20 Hexaeder, 8, 20 Dodekaeder 

 in diesem Räume nicht Platz haben. Denkt man sich nämlich um eine 

 P^cke des regelmässigen Polyeders mit der Seitenkante a als Radius eine 

 Kugelflilche l)eschrieben, und bezeichnet den Flächeninhalt des durch diese 

 Ecke ausgeschnittenen Kugelpolygons mit T, O, H, D, J (Anfangsbuchstaben 

 der Namen der Polyeder), so sind die Grössen 



4T, 8T, 20T, 60, 4H, 4D < 4a27r, 



8H = 4a2 7r, 



12J, 20H, SD, 20D > Asi'^Tt. 



Soll also eine vollkommene Ausfüllung des Raumes imi einen Punkt 

 herum stattfinden, so muss jede in diesem Punkte anzutragende Ecke im 

 ersten Falle vergrössert, im zweiten nicht verändert, im dritten \erkleinert 

 Averden. Dasselbe gilt dann auch von den Ecken der folgenden Körperschicht, 

 die zu den ersten P Körpern liinzugefügt wird. Da die Grösse der Körper 



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