Theorie der homogen zusammengesetzten Manmgebilde. (p. 89) 425 



Hiernach geht aus jeder Aussenecke 1 Innenkante, aus jeder 

 Aussenkante 1 Innenfläche, während jede Aussenfläche 1 Aussenkürper 

 liefert. 



Construirt man diese 12 Aussenkürper, so ist nnmittelhar klar, dass 

 jeder derselben 1 Aussenfläche und ö Innenflächen von der Gattung S4 liefert. 

 Die innere Grenze der ersten Schicht besteht also aus 6.12 = 72 Flächen. 



Zweite Schicht. 



Nach Entfernung der ersten Schicht bleibt der auf Taf. 7. Fig. 26 

 dargestellte Kern übrig, i) Das ebene Netz seiner Ausseuflächen zeigen die 

 \ollstilndigen Linien auf Taf. 8. Fig. 31 (oder die punktirten Linien in Fig. 30). 

 Dieser Kern bildet wieder einen homogenen dodekaedrischeu Körper, von 

 welchem eine neue Schicht von Aussenkörpern (die zweite Schicht des ganzen 

 Gebildes) abgelöst werden kann. Die Zusammensetzung dieses Körpers ergiebt 

 sicli durch einfache Zählungen. 



Zunächst ist, Avie schon gefunden, S2 ^ "i2. 



Die Kanten (11) sind die Seiten von 12 Fünfecken, ihre Zahl also 

 gleich 60. Ferner liefert jede der 60 Ecken 1 eine Kaute (12), daher die 

 Zahl dieser Kanten 60. Endlicli treffen in jeder Ecke 2 ebensoviele Kanten 

 (21), wie Kanten (23) zusammen, nämlich je 2; mithin ist auch die Zahl der 

 letzteren Kanten gleich 60, und im Ganzen K2 = 180. 



Jeder der zwölf Körper der ersten Scliicht liefert zur äusseren Be- 

 grenzung der zweiten je 5 Ecken von den Gattungen 1, 2, 3. Da nun die 



Ecken 1 nur je einem dieser Körper, die Ecken 2 je zweien, die Ecken 3 



12 5 12 5 

 je dreien angehören, so ist die Anzahl aller Ecken 12.5 + - x" H — ^; also 



E, = 110. 



In jeder inneren Ecke treffen sich 4 Körper, \- = 6 Flächen, 



- ^\r ^'' = 4 Kanten. 



') Im Interesse der Deutlichkeit sind nur die gleichzeitig sichtbaren Theile seiner 

 Aussenfläche gezeichnet. Die inuei'en Fünfecke (11111) sind die Gegenfliichen der äusseren 

 Fünfecke. Die fehlenden Verbiudungskanten gehen von den Ecken des gegebenen Dodekaeders 

 nach den Punkten 3 der inneren Begrenzung. — Taf 8. Fig. 30 zeigt die ebenen Netze beider 

 Begrenzungen der ersten Schicht übereinanderliegend. Aus jeder Ecke der äusseren Begrenzung 

 geht eine Kante K3 nach der zunächst liegenden Ecke 3 der inneren Begrenzung. 



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