Theorie der homogen zusammengesetzten BaumgehUde. (]). 91) 427 



der unter 2) genannten Dodekaeder sind die Flächen S4, welclie weder der 

 äusseren noch der inneren Begrenzung angehören.) 



Dritte Schicht. 



Nach Entfernung der zweiten Schicht bleibt der auf Tat". 7. Fig. 27 dar- 

 gestellte Kern übrig. Das ebene Netz seiner Aussenflächen zeigen die punktirten 

 Linien in Taf. 8. Fig. 31 (oder die vollständigen in Tat". 9. Fig. 33). Dieser 

 Kern bildet wieder einen homogenen dodekaedrischen Körper, von welchem 

 eine neue Schicht von Aussenkörpern (die dritte Schicht des ganzen Ge- 

 bildes) abgelöst werden kann. Die Zusammensetzung dieses Körpers ergiebt 

 sich wieder durch einfache Zählungen. 



Zunächst ist, wie schon gefunden, S2 = 132. 



Die Kanten (11) sind die Seiten von 12 Fünfecken, ihre Zahl also 

 gleich 60. Ferner liefert jede der 60 Ecken 1 eine Kante (12), daher die 

 Zahl dieser Kanten 60. Die um jedes Fünfeck (1111 1) herum liegenden 5 

 Fünfecke bilden zusammen ein Zehneck, dessen Seiten die Kanten (23) sind. 

 Die Zahl dieser Kanten ist also 12 . 10= 120. Von jedem der 20 Punkte 4 

 gehen drei Kanten (42) aus, daher die Zahl dieser Kanten 60. Endlich 

 bilden je 3 um einen Punkt 4 herumliegende Fünfecke zusammen ein Neuneck, 

 von dessen Seiten die 3 Kanten (33) noch nicht gezählt sind. Da nun jede 



dieser Kanten zweien dieser Nennecke gleichzeitig angehört, so beträgt ihre 



20 3 

 Zahl — -^ = 30. Die Anzahl aller Aussenkanten des Körpers ist also 



60 + 60 + 120 + 60 + 30, oder 



K2 = 330 . 



Jeder von den 12 Körpern der zweiten Schicht, welcher eine Fläche 



(11111) zur Aussenfläche der dritten liefert, liefert auch 1 5 verschiedene Ecken, 



nämlich je 5 von den Arten 1,2,3. Jeder von den 20 Körpern der zweiten 



Schicht, welcher 3 Flächen zur Aussenfläche der dritten liefert, liefert auch 



eine Ecke (4) zu derselben. Demnach ist die Anzahl aller Aussenecken des 



Körpers 12 . 15 -f 20, oder 



Es = 200 . 



Untersucht man die Zahl der aus den Aussenecken nach aussen 

 und nach innen gehenden Verbindungskanten, so tindet sich 



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