Theorie der homogen zusammengesetzten Raitmgeh/ldc. (p. 97) 433 



die innere Obei"fläclie zur äusseren und die äussere zur inneren machen, wenn 

 es mög-licli wäre, das ganze Gebilde in den vierdimensionalen Kaum hinaus- 

 treten zu lassen. In diesem würde sich die Umkehrung vollziehen, und das 

 umo-ekehrte Gebilde könnte dann in den euklidischen Raum zurückkehren. 

 Durch diese Betrachtung erweisen sich Zerlegung und Zusammensetzung als 

 symmetrisch vervi^andte Processe (vgl. die entsprechende Stelle des ersten 

 Abschnittes), i) 



2) Körper im eiiifaclien vierdimensionalen Eaume (M^oj. 



Die Zusammensetzung eines polyedrischen Kör])ers können wir uns 

 auch so ausgeführt denken (wenn auch nicht vorstellen), dass je zwei benach- 

 barte Polyeder in verschiedenen euklidischen Räumen liegen. Alsdann tritt 

 das ganze Gebilde in den vierdimensionalen Raum hinaus, und die bisher 

 betrachteten Körper können als Abbildungen solcher Gebilde in einem eukli- 

 dischen Räume betrachtet werden. Das Polyeder, welches die Aussenflilche 

 eines vollstJlndigen endlichen polyedrischen Körpers bildete, giebt beim üeber- 

 gang in den vierdimensionalen Raum einen Körper, welcher im Verein mit 

 den Theilen des polyedrischen Körpers einen Theil jenes Raumes vollständig 

 begrenzt. Es schliesst sich also der polyedrische Körper, als Grenze des vier- 

 dimensionalen Gebildes betrachtet, in diesem Falle von selbst. Bei den fünf 

 unendlichen Körpern ist dies otfenbar nicht der Fall. 



a. Die geschlossenen Körper und die homogen begrenzten 

 vierdimensionalen Gebilde. 



Aus jedem räumlichen polyedrischen Körper geht hiernach ein solcher 

 im vierdimensionalen Räume hervor, und aus jedem endlichen ein homogen 

 begrenztes vierdimensionales Gebilde, dessen Grenzkörperzahl (C) um 1 grösser 

 ist, als die Zahl der Theile des Körpers (C). 



V. Es giebt also im vierdimensionalen Räume folgende 

 homogen begrenzten geschlossenen Gebilde: 



1,1 Hieraus folgt weiter, dass die beim H9-tlieiligeii luid 599-theiligeü Körper auf- 

 tretenden Zwisclieukörper eine doppelte homogene Zerlegung gestatten, nämlich in diejenigen 

 Polyeder, welche innerhalb, und in diejenigen, welche ausserhalb ihrer Aussenfläche liegen. 



Kova Acta XLIV. Nr. 4. 56 



